ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ3 (1002ﾚｽ)
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46: １３２人目の素数さん [] 2023/04/09(日) 17:34:25.04 ID:t7hWlMRX

あほサルよけに https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5 ｗ
再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1677671318/977
>>975
>正則行列の特徴づけ「一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない[7]」

分かり易い証明があったので下記貼る

なお、ここに”初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります”とあるだろ？
例えば、同等な条件→同値な条件 だけれど、あえて”同等”としているようだ
私が、”正方行列の逆”と書いたのも、同じこころだ

で、本来正則と書くべきはその通りだし、そう言えば良いだけだ
ところが、「お前は線形代数が分かっていない。正則という言葉を知らない」というから

ひねって「零因子行列のことだろ？」と答えたら
”零因子行列⊂正則行列”の意味に取ったサルが居たｗ

https://academ-aid.com/math/reg-iff
Academaid
初学者の分かりやすさを優先するため，多少正確でない表現が混在することがあります。もし致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。
【徹底解説】正則行列の六つの同等な条件 2022年5月5日
正則と六つの同等な条件

6．一次方程式 Ax＝0は自明な解しかもたない [証明]
https://academ-aid.com/math/reg-iff-triv
証明
連立一次方程式
Ax＝0 ・・・(1)
を考えます。
Aが正則であるならば逆行列A^-1
が存在しますので，式(1)の左から
を掛けることにより，x＝0
が得られます。すなわち，式(1)は自明な解しかもたないことが示されました。
逆に，式(1)は自明な解しかもたないとき，
x＝(x1,・・・,xn)，Aの列ベクトルをa1,・・・,an
とおくと，
Σi=1～n xiai＝0
を満たす実数x1,・・・,xn
はすべて0になります。すなわち，a1,・・・,an
は一次独立になります。ここで，行列の階数はA
の列ベクトルのうち一次独立な列ベクトルの最大個数ですので，
rank A＝n
となります。
正則と六つの同等な条件より，
rank A＝nと行列A
が正則であることは同等でしたので，
式(1)は自明な解しかもたないことと行列
が正則であることは同等になります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/46

371: １３２人目の素数さん [] 2023/04/26(水) 10:31:03.04 ID:1lxhsqWW

>>370
ではこれではどうでしょう
群論や体論を学習する以前の学部生向けに書いたものの一部ですが

クロネッカーはf(X)の根$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$の置換
$$\alpha_k \longrightarrow \alpha_{\sigma(k)}\;\;\;\;\;(\{1,2,\dots,m\}
=\{\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(m)\})$$の、
アーベルによって発見された条件に目を付けました。それは、
$\mathbb{Q}(\alpha_1)=\mathbb{Q}(\alpha_2)=\cdots=
\mathbb{Q}(\alpha_m)$ であり
$\alpha_1\mapsto \alpha_{\sigma(1)}$によって引き起こされる対応
\begin{equation}\mathbb{Q}(\alpha_1)\ni\sum_{k=0}^{m-1}
{b_k\alpha_1^k}\mapsto
\sum_{k=0}^{m-1}{b_k\alpha_{\sigma(1)}^k}\in\mathbb{Q}
(\alpha_{\sigma(1)})=\mathbb{Q}(\alpha_1) \;\;(b_k\in\mathbb{Q})
\end{equation}が、対応
\begin{equation}\tilde{\sigma}:
\sum_{k=1}^m{c_k\alpha_k}\mapsto\sum_{k=1}^m
{c_k\alpha_{\sigma(k)}}\;\;(c_k\in\mathbb{Q})）\end{equation}
と一致するような$\sigma$の集合を$G_\alpha$としたとき、
写像の合成$(f\circ g)(x):=f(g(x))$に関する$G_\alpha$内の
演算の可換性すなわち$$\tilde{\sigma}, \tilde{\tau}\in G_\alpha
\Rightarrow\tilde{\sigma}\circ\tilde{\tau}=\tilde{\tau}\circ\tilde{\sigma}
$$が成立するというものです。
この条件がみたされるとき、$\mathbb{Q}(\alpha)$は$\mathbb{Q}$の
アーベル拡大であると言います。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/371

731: １３２人目の素数さん [] 2023/05/04(木) 14:55:40.04 ID:RJvsqXE+

>>730
>>頭悪そう
うまい答えが思いつかないときの
常套句
>>ド田舎の中卒か
田舎の中卒にでも数学に限ればこの程度なら書ける↓

As is well known, Riemann's idea was realized,
or rather justified, by Hilbert and Weyl, and then
further extended by Hodge and Kodaira.
In particular, Kodaira characterized projective algebraic varieties
as compact complex manifolds which admit positive line bundles,
by establishing a cohomology vanishing theorem.

Demailly's thesis is one of the generalizations of
Kodaira's vanishing theorem.  Demailly proved a
vanishing theorem with L^2 estimates on complete K\"ahler
manifolds under the semipositivity conditions on the curvature of
the bundles. It was first observed by Grauert that complete
K\"ahler metrics live naturally on Stein manifolds as well as on
quasi-projective manifolds. The reason why Demailly's L^2
vanishing theorem is effective in algebraic geometry is that L^2
holomorphic functions extend analytically across proper analytic
subsets of the domains in C^n as in the case of Riemann's
removable singularity theorem in one variable.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/731

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