[過去ﾛｸﾞ] スレタイ 箱入り無数目を語る部屋3 (1002ﾚｽ)
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488: 2022/09/29(木)13:28 ID:Vbe/WZxQ(1/6) AAS
>>486-487
時枝記事とは無関係な補足を連発しているスレ主であるが、
いくら多項式環・ベキ級数環について補足を繰り返したって、
時枝戦術が勝率ゼロであることは導けないぞ。
なんたって、決定番号は常に有限値だからな。
出題者がランダムに出題した場合には、出力される決定番号は毎回異なるが、
それでも「その回ごとに有限値」だからね。
省5
490(2): 2022/09/29(木)21:41 ID:Vbe/WZxQ(2/6) AAS
>>489
＞多項式環において、その元の各多項式は有限次だが、
＞その次数はいくらでも大きくとることができる
だからと言って、「確率1で多項式の次数は＋∞」などというバカみたいな性質は成り立たない。
多項式の次数の "期待値" は ＋∞ かもしれないがね。
>>480の例において、封筒の中身はいくらでも大きい可能性があるが、
だからと言って「確率1で封筒の中身は＋∞ドル」とはならないのと同じ。
491(1): 2022/09/29(木)21:52 ID:Vbe/WZxQ(3/6) AAS
>>490
＞無限次元線形空間においては、無限次元ベクトルが取れる
ここが間違っている。S＝{ x^i｜i＝0,1,2,…} と置くとき、
多項式環 R[x] の基底として S を取ることができる。そして、
・ 任意の f(x)∈R[x] は、S の元の有限個の線形和で表せる
のだから、任意の f(x)∈R[x] に対して、ある有限個の a_0,a_1,…,a_n∈R が存在して
f(x)＝Σ[i＝0〜n] a_ix^i
省3
492(1): 2022/09/29(木)21:58 ID:Vbe/WZxQ(4/6) AAS
n_f の値は f ごとに異なるが、必ず有限値である。スレ主としては、
「確率1で n_f＝＋∞ (すなわち、多項式f(x)の次数は＋∞)」
が成り立ってくれなければ困るのだろうが、多項式環で考えている限り、
n_f は f ごとに必ず有限値である。もちろん、a_i＝0 (i≧n_f＋1) と拡張すれば
f(x)＝Σ[i＝0〜∞] a_ix^i
として無限和の形で書くことも可能だが、その実態は a_i＝0 (i≧n_f＋1) なのだから、結局は
省6
493(5): 2022/09/29(木)22:13 ID:Vbe/WZxQ(5/6) AAS
そもそも、スレ主は安易に
・ 多項式環 R[x] から「ランダム」に多項式を選んだ場合、〜〜〜
といった表現を使っているが、R[x] におけるランダム性には標準的なものが存在しないんだよな。
従って、R[x] におけるランダム性を定義するには、(R[x], F, P) が確率空間になるような
任意のσ集合体 F と、任意の確率測度 P を、任意に設定してから議論することになる。
では、そのような確率空間 (R[x], F, P) を任意に取る。この確率空間に基づいて、
R[x] から多項式をランダムに選ぶことにする。すると、
省6
494(4): 2022/09/29(木)22:39 ID:Vbe/WZxQ(6/6) AAS
>>493により、スレ主が言うところの
「基本は無限大」
は絶対に成り立たないことが分かる。
なんたって、(R[x], F, P) が確率空間になるような任意の確率空間で>>493が成立するからだ。
レーヴェンハイム・スコーレムの定理を使えば「基本は無限大」が示せると思ったら大間違い。
・ ちゃんと確率空間(R[x], F, P)を設定して丁寧に記述すれば、
「多項式 f(x) をランダムに選ぶと、確率1 で f(x) の次数は有限値である」
省2
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