スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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165: １３２人目の素数さん [] 2022/09/06(火) 20:38:03.69 ID:+kdNx5e4

＜転載＞
ホテル「無限」ヘようこそ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660367012/32
ROMのつもりだったけど少し燃料を投下しよう

1）無限列として、半開区間[0、10)の実数を考える （e、πがこの範囲）
　（常識だが、3.14で、4は小数第2位となる）
2）簡単に10進無限小数を考えると、これが上記の無限列の例を構成する （勿論p進展開もありだが）
　この場合、数列の各項に入る数は0～9の整数になる
3）下記は、よく知られていることだが
　a)無限小数で、ある小数第n+1位から先のしっぽが0である場合、それは有限小数である。普通は0を省いて記す
　　例 3.1400000・・→3.14
　b)有理数では、無限小数だが、しっぽが循環する場合がある
　　例 1/3＝0.33333・・
　c)循環しない無限小数（有限でない）は、無理数で、代数的数と超越数に分けられる
　　例 √2、π
4）さて、無限小数のしっぽの同値類を考えると
　二つの無限小数 aとb が、同じ同値類だとする。ある小数第n+1位から先のしっぽ一致しているとすると
　aーb ＝c とすると、cは有限小数になる （∵ ある小数第n+1位から先のしっぽ一致しているので、差を作ると全て0になるため）
5）逆に、（有限でない）無限小数bに対し、同じ同値類の数aは、
　a＝b＋c とできる（cは有限小数）
6）なお問題は、人は任意の二つの（有限でない）無限小数が同じ同値類に属するか否かを見分ける手段をまだ持たないこと
　例 e+π、e-πは、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない
（下記の 超越数かどうかが未解決の例 より）
（円周率 π 、ネイピア数 e）
7）なので、理念としての無限小数のしっぽの同値類分類は可能であるが、
　それを具体的に、全同値類を完成してその代表を選ぶことなどできないのです（多分将来も全同値類の完成は不可能でしょう）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/165

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