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IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
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795: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 07:41:31.82 ID:rSmWbt0i （転載） 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ 243 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/11/03(火) 03:24:47.92 ID:EzLUFeKC >決して{…{{{}}}…}ではありません {}:=x1, {{}}:=x2, … とおく。 そもそもx∞は集合たりえない。 なぜなら、正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」を満たさないから。 なぜなら、x∞={x∞}であって、x∞∩x∞=x∞≠{} だから。 (引用終り) どなたか知らないがレスありがとう 良い質問ですね １） ・"正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」"だから、x∞に極小元の存在を示せば足りる （下記の「数理論理学ＩＩ 坪井明人」”正則性公理”ご参照） ・x∞の極小元は、明らかに空集合Φ＝{}です。よって、正則性公理に反しないQED ２） ・”x∞={x∞}”の証明がない ・つーか、これ違う ∵多分x∞の定義が違うだろうし、順序数と基数の∞との混同でしょう つまり、Zermeloのシングルトンによって {}:=x1, {{}}:=x2, … で、その極限としてωが出来たとして その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと ・なお、この議論は、基礎論的には順序がおかしい ∵ ” lim n→∞”は、ノイマン構成などで、自然数Ｎが出来た後の議論だからね でも、自然数Ｎが出来た後なら、この議論は許されるよ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/795
796: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 07:41:52.44 ID:rSmWbt0i >>795 つづき （参考）>>785より https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。 定義 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x)) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0 ・∀xについて、∈がx上well-founded ・∀xについて、無限下降列である x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。 ・V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/under.html 学群関係 Akito Tsuboi's Home Page 坪井明人 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学ＩＩ 坪井明人 目 次 第 1 章 公理的集合論の基礎 1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/796
797: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/08(日) 07:54:01.96 ID:bKzT4Sg/ >>795 >Zermeloのシングルトンによって >{}:=x1, {{}}:=x2, … で、 >その極限としてωが出来たとして 質問１．極限、どうやってとるの？ >その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ それは誰も否定してないけど >その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと 質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/797
798: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/08(日) 07:54:35.80 ID:bKzT4Sg/ >>795 >Zermeloのシングルトンによって >{}:=x1, {{}}:=x2, … で、 >その極限としてωが出来たとして 質問１．極限、どうやってとるの？ >その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ それは誰も否定してないけど >その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと 質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/798
799: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 08:15:39.92 ID:rSmWbt0i >>794 > 1, 2，・・, n,・・, ∞ > ↓↑ > π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π まあ、そこは 1, 2，・・, n,・・, ω ↓↑ π1,π2,・・,πn,・・,πω=π と読み替えて貰えば良い 普通、例えば、>>795 のように、”lim n→∞ xn =ω”と書くとき ∞は添え字集合としてのωをも意味するけれども、歴史的慣習として∞を使っているだけのこと 意味同じ そして、>>795に書いたけれど、Zermeloのシングルトンによる自然数の構成だと、歴史的に批判されたらしいが、順序数の構成は良いけど、基数はどうするの？ と で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが １．順序数として、0th＝Φ（空集合）、1st={Φ}、2nd={{Φ}}、3rd={{{Φ}}}、・・・、nｔｈ={・・{Φ}・・}、・・→ω ２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・→∞ とすれば、よかんべ これで、上記２の基数の方に、無限公理を適用すれば、無限集合としての自然数の集合Nが出来るよ そこから、あらためて ∞や、ωを定義すれば良い なお、”・・→∞”とか”・・→ω”とかは、ご説明として書いただけで、 数学的には蛇足（循環論法になる）で取った方がいいけど、５ｃｈの議論として分り易くしたんだ これが分からない？ IUT無理 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/799
808: １３２人目の素数さん [] 2020/11/08(日) 12:16:29.45 ID:BM2uk/CN >>795 >・”x∞={x∞}”の証明がない x∞に一番外側の"{"と"}"が無いならそもそも集合ではありません。 x∞に一番外側の"{"と"}"が有るならそれらを外したものはx∞自身ですから正則性公理に反します。 これ以外のケース（例えば、有り且つ無い）はありませんから、結局x∞は集合の要件を満たしません。 >・x∞の極小元は、明らかに空集合Φ＝{}です。よって、正則性公理に反しないQED いいえ、{}はx∞の元ではありません。 >・つーか、これ違う > ∵多分x∞の定義が違うだろうし、順序数と基数の∞との混同でしょう 定義は議論の出発点です。定義が違うと言われても意味不明です。 違う定義の議論をしたいならまずその定義を示して下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/808
809: １３２人目の素数さん [] 2020/11/08(日) 12:25:04.00 ID:BM2uk/CN >>795 >{}:=x1, {{}}:=x2, … で、その極限としてωが出来たとして まず集合列の収束の定義を示して下さい。 次にその定義に沿って集合列 {}, {{}}, … が収束することを証明して下さい。 それらが示されない限りあなたの主張はナンセンスです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/809
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