[過去ﾛｸﾞ]
IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
抽出解除
ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索
歴削→次ｽﾚ
栞削→次ｽﾚ
過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
711: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/01(日) 23:18:44.86 ID:o4gNmK89 >>708-710 ・無限公理の本質は、それを表現する式のテクニカルな話ではない。単に、後者関数を帰納的に繰返しただけでは、自然数の集合N（順序数ではω）の存在はすっきり言えないってことです ・無限公理の本質は、下記の極限順序数通り。ある後者関数を選ぶと、帰納的に自然数の元が構成できる。そして、無限公理で、極限順序数ω（それは自然数の集合Nでもある）の存在が導かれる ・その後、ωに後者関数を適用することで、”ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ......”（下記）と続くということです ・後者関数の選び方には、任意性があるが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」 ・だから、シングルトンによる後者関数に目くじら立てるのは間違い。シングルトンによる後者関数であっても極限順序数は可能ですよ ∵シングルトンによる後者関数によって全ての自然数の元が尽くせるなら、それらの元を集めた無限集合たる自然数の集合Nが構成可能であって、それは極限順序数ωでもあるのです！ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 数学でいう順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。 ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。 S(α) を α の後続者（successor of α）と呼ぶ。 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/711
712: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/01(日) 23:19:06.74 ID:o4gNmK89 >>711 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 (引用終り) なお、これを下記のスレに転載しておきますよ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/712
713: 特別支援学校教諭 [sage] 2020/11/02(月) 06:18:54.78 ID:PUodusEe >>711 噛んで含める説明 >無限公理の本質は 以下の式の通りですよ 「ある集合Aが存在し、Aは空集合を要素とし Aの任意の要素xについて、その後者S(x)も要素とする」 ∃A（{}∈A∧∀x∈A(S(x)∈A)) >それを表現する式のテクニカルな話ではない。 テクニカルな話＝後者関数の形体 ということならその通りですね つまり、後者関数によって生成される集合がシングルトンか否かとは無関係に、 無限公理によって、無限集合（シングルトンに非ず）の存在が前提される ということです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/713
714: 特別支援学校教諭 [sage] 2020/11/02(月) 06:24:44.23 ID:PUodusEe >>711 >後者関数の選び方には、任意性があるが、 >「二階述語論理によって定式化することで、 > ペアノシステムを同型の違いを除いて > 一意に定めることができる」 それ、「可算無限シングルトン」と無関係ですね ちなみに一階述語論理では、一意化できません それがレーヴェンハイム–スコーレムの定理ですね −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、 可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、 全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、 という数理論理学の定理である。 そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、 そして無限モデルを持つ一階の理論は 同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、 という結論が得られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/714
715: 特別支援学校教諭 [sage] 2020/11/02(月) 06:30:07.90 ID:PUodusEe >>711 >シングルトンによる後者関数であっても極限順序数は可能ですよ より正確にいえば 「後者関数による後者がシングルトンであっても、極限順序数は生成可能」 で、核心 ◆yH25M02vWFhP氏、がいってるのは 「後者関数による後者がシングルトンならば、極限もシングルトン」 ですよね？ それ、間違ってます(・Д・)９ ﾋﾞｼｯ! 後者関数がいかなるものであっても、 無限公理で定められるωは無限集合（正確には可算無限集合） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/715
716: 特別支援学校教諭 [sage] 2020/11/02(月) 06:37:29.51 ID:PUodusEe >>711 大事なことなので繰り返しますね >シングルトンによる後者関数によって全ての自然数の元が尽くせるなら、 >それらの元を集めた無限集合たる自然数の集合Nが構成可能であって、 >それは極限順序数ωでもあるのです！ ええ、その通りですよ。で、 N（＝ω）は全ての自然数{}、{{}}、{{{}}}、…を集めた無限集合なんでしょう？ だから、N（＝ω）はシングルトンではないですね 具体的に書けば{{},{{}},{{{}}},…}です 決して{…{{{}}}…}ではありません http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/716
718: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/02(月) 07:06:47.73 ID:YSe1lExr >>711 補足 １．自然数のノイマン構成(>>706)で、”無限公理”を適用して、可算無限集合 つまりは自然数の集合N（順序数ω）が構成できたとする ２．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. となる ３．ここに、後者関数 S(α) ：＝ SN(α) ノイマン構成の後者関数である ４．さて、後者関数を S(α) ：＝ SZ(α) シングルトンによる後者関数（Zermelo）に置き換えても、上記２と同じことが言える ５．これを担保するのが、「レーヴェンハイム＝スコーレムの定理：一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ」（>>706）ってことです なお、これらを下記のスレに転載しておきますよ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/718
719: 特別支援学校教諭 [sage] 2020/11/02(月) 07:59:12.94 ID:PUodusEe >>711 >「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」 >>718 >「レーヴェンハイム＝スコーレムの定理：一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ」 どっちも、後者関数をどう設定するかとは無関係ですけどね つまり後者関数を決めたところで、どっちもいえます 「後者関数の任意性」とは無関係です で、シングルトンによる後者関数（Zermelo）を選んでも ωはシングルトンにはなりません じゃ、これもあのスレッドに記録しておきますね（にっこり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/719
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.035s