IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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628: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 15:36:36.46 ID:cmDP4Gws

>>624 追加

＜再録＞
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0971-4.pdf
数理解析研究所講究録 1996
楕円曲線の数論の歴史 早稲田 足立恒雄
ここでは (1) $\Gamma^{l}\mathrm{e}1^{\cdot}1\mathrm{I}1_{\mathrm{C}}’\iota \mathrm{t}$ の先駆
的研究、 (2) 楕円曲線の群構造発見を巡る歴史、 (.3) フェルマー問題の Frey による谷山
予想への還元、 の三つに絞って考察することにする。
\S 2 楕円曲線論の始祖 Fermat
(引用終り)

（全部、上記 足立恒雄先生に書いてあるが）
１．昔昔あるところで、楕円曲線論の始祖 Fermat氏が、楕円曲線の面白い性質を発見して、数論研究を行った
２．その後、”群構造の発見 種数 1 の曲線と楕円関数との関係に初めて気が付いたのは Jacobi氏”だった
３．時代は下って、谷山・志村氏は、いまでいうモジュラリティ定理（ｑ展開）を予想として発表した
４．Frey氏の貢献、楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) ヘレゴーチ・フライ曲線を研究し、谷山・志村予想＋ε予想が、フェルマーの最終定理の反例となることを発表
５．ワイルズ氏が、谷山・志村予想の半安定の場合を解決し、フェルマーの最終定理を証明した
６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
　という流れだったのです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
楕円曲線
(抜粋)
フェルマーの最終定理(FLT)の証明である。素数 p > 5 に対して、フェルマー方程式
a^p+b^p=c^p で
楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) ヘレゴーチ・フライ曲線(Hellegouarch?Frey curves)
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/628

629: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 15:58:46.16 ID:cmDP4Gws

>>628 追加
> ６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
>　という流れだったのです

１．これを、IUTについて見るに
　p = 1で a + b = c → 楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε'予想→スピロ予想解決
　となる。そういう流れではないかと（＾＾
２．で、”ε'予想＝IUT1〜4” なのです
３．要は、”p = 1で a + b = c”だけを眺めても、なかなか先が見えない
　同様に、”楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b)”だけを 眺めても、なかなか先が見えない
　そこで、望月先生は、”谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋IUT1〜4”という視点で、解決しようとしたのではないかと
　「ε'予想＝IUT1〜4」の前に、膨大な準備論文があると聞いていますが
４．私のこと？ 私は、細かいことはさっぱりです。ミーハーのヤジウマですから
　>>590 PROMENADE IN IUTなどが進むと、また何か解説の情報が入ってくるのではと、期待して待っています（＾＾
　IUTの原論文など、難しすぎ
　私には、とても、とても。まともには 読めませんよ。斜めからか、裏からか、後ろからかですなｗ（＾＾；
５．まあ、競馬の三冠馬同様です
「出遅れていた望月号、さあ、第四コーナーを回って、直線に入ってきた。懸命の追い込みだ。2022 モスクワICMのゴールを目指せ〜！」
　ですよ（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%AD%E4%BA%88%E6%83%B3
スピロ予想
(抜粋)
言明
任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、E の極小判別式を Δ で、導手を f で表すと、
｜Δ｜＜＝C (ε) ・f^(6+ε)
が成り立つ。

以上は有理数体における主張であるが、一般の代数体Ver.や関数体Ver.もある。関数体Ver.は、Szpiro の定式化のずっと以前に小平邦彦によって発見されており、その証明は易しい[1]。

ABC予想との関係
スピロ予想より強い以下の主張がABC予想と同値である[2]。
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/629

633: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 21:32:53.73 ID:bN6CRDXK

>>628 追加

ご参考
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/yasuda.pdf
平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所)
R = T 定理の仕組みとその応用 安田 正大

この講座では, Fermat 予想の証明のために Wiles, Taylor-Wiles が確立した R = T 定理に関する最近の発展と応用についてお話します.

ここで考えている反例 a^l + b^l = c^l において, 条件 a, b, c の最大公約数が 1 であり, さらに a + 1 が 4
の倍数で b が偶数であると仮定しても一般性を失わないのでそう仮定することにします. このとき楕円曲
線 Ea,b が存在するとすると, 非常におかしなことが起こるということに Frey は気づきました. 一般に有理
数体上の楕円曲線 E が与えられると, E の極小判別式と呼ばれる整数 ?E と E の導手と呼ばれる正の整
数 NE とが定まります. E の導手のほうが E の極小判別式の絶対値よりも小さいのですが, E = Ea,b に
関しては NE が ?E と比べて極端に小さくなります. ところが Szpiro の予想1という予想があって, E の
導手が E の極小判別式と比べて極端に小さくなることはないと思われているので Ea,b が存在するとする
とおかしなことになります.

Fermat 予想は, なぜ式 (1.1) に注目しているのかいまひとつはっきりせず, そういう意味で最近の数学
の立場からはそれほど重要な問題であると思われていないのですが, Szpiro 予想に出てくる ?E と NE と
はともに重要な量であり, そのためこの 2 つの量を比較する Szpiro 予想は重要な問題だと思われます.

16. R = T
Mazur は R を考えるアイデアを創始し, いろんなアプローチによる R の研究方法を提唱しました. その
うちの一つとして, 上の設定とは少し異なるモジュライ問題の下で, 写像 R → T を考え, それが同型である
ことを肥田の変形というものを用いて示しました. Wiles [W] と Taylor-Wiles [TW] は, 上に設定したよう
な状況の下での同型 R → T の証明の基本戦略を開発し, それを用いて特別な場合の谷山-志村予想を解決し
ました.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/633

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