IUTを読むための用語集資料集スレ

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625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 10:46:48.69 ID:cmDP4Gws

>>620 補足

もう一点補足しよう
下記、hiroyukikojima ”「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ”
”数学の専門の言葉では「同一視」という”
下記では、イデアルが例示されているな

（参考）
https://hiroyukikojima.はてなぶろぐ/entry/20140606/1402035822
hiroyukikojima’s blog 20140606
「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ
(抜粋)
『数学は世界をこう見る　数と空間への現代的なアプローチ』PHP新書
この本には、複数のコンセプトが込められているのだけど、その中で非常に大きいのが、「同じと見なす」という数学固有のテクニックをこれでもか、というぐらいに徹底的に解説することだ。「同じと見なす」ということを、数学の専門の言葉では「同一視」という

高校までとはうって変わって、数学科に進学すると、この「同じと見なす」の嵐になる
19世紀にカントールとデデキントが集合論を打ち立ててから、数は「発見されるもの」ではなく「同一視を駆使して創造されるもの」となった。だから、数を扱う分野は、必ず、「同一視」の洗礼を受けることになるのである

(あとがきにも書いたことだが)、数学者の黒川信重先生と共著を作るのに対談している最中、「数学では、この『同じと見なす』という操作がすごく大事で、本質的だよね」という意見が一致したことにあった。そして、「そんなに大事なことなのに、『同じと見なす』を主軸に据えて、きちんと解説した本ってないよね」ということも同じ見解だった
それで、「同じと見なす」ことの徹底解説にトライしたのが本書であった

具体的には、素数周期で数を同一視することで得られる有限体、中身の詰まった単体の'へり'を0と同一視することで図形を分類するホモロジー群、「2つの多項式の差が特定の多項式の倍数になる場合は同じと見なす」ことで得られる剰余体(例えば、ルート2や虚数単位はこの方法で'創造'される)を解説した
全体を貫いているのは、イデアルというアイテムだ。イデアルは、19世紀のクンマーがフェルマーの最終定理を解こうとして端緒を掴み、それをデデキントが集合論を使って実体化させ、さらに、ヒルベルトが代数幾何に応用してその威力を知らしめた。たぶん、20世紀の数学の中で、最も重要な数学概念の一つであろう
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/625

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/29(木) 11:04:59.38 ID:cmDP4Gws

>>625 追加

違いを探せば、違いはある。でも、同一視する。それが、高等数学の流儀

デデキント切断とコーシー列と。どちらも、実数を構成できる
あるときは同一視し、あるときは差を強調する

虚数単位 ”ｉ”。 普通はｉ＝√-1
でも、”実数体 R 上の多項式環 R[X] に対して、X2 + 1 で割った剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、複素数体 C と体同型”（下記）
行列表現もあるよ

ここらが、適切に自由自在に、同一視と、差を強調するときと、
その使い分けができるのが良いのだろうね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD
デデキント切断
リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数

3 実数の様々な構成
3.1 コーシー列を用いた構成
3.2 デデキント切断による構成
3.3 超準解析に基づく構成

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D
虚数単位
1 定義
2 負の数の平方根を用いない表現
2.1 ハミルトンの定義
2.2 多項式環からの構成
2.3 行列表現

ハミルトンの定義
詳細は「複素数#実数の対として」を参照

多項式環からの構成
実数体 R 上の多項式環 R[X] に対して、X2 + 1 で割った剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、複素数体 C と体同型である。
この対応で、虚数単位は同値類 [X] である。

行列表現
詳細は「複素数#行列表現」を参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/626

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