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IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
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380: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 20:14:05.25 ID:wEGnwISi 良い還元、悪い還元 （メモ） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/serre.pdf 齋藤毅 Serre (抜粋) 1964 年 8 月 8 日に Ogg あてに書かれ， 「交信録」に収録された手紙で，Serre は後に N´eron-Ogg-Shafarevich 判定法の名前で知 られることになる定理を述べています．これは，「局所体上の Abel 多様体がよい還元を もつという条件は，それが定める ｌ 進表現が不分岐であるという条件と同値である」と いう定理です（「Serre 全集」論文 79）．この定理は，ｌ 進表現が，幾何的な性質を統制 する強力なものであることを主張しています． 同じ Ogg あての手紙の中で，Abel 多様体に対する準安定還元定理を「素朴な疑問」 として述べています．これは，その後まもなく，Mumford と Grothendieck により証 明されました．さらにそれを使って，代数曲線に対する準安定還元定理も，Deligne と Mumford により証明されました．これらの準安定還元定理は，それぞれのモジュライ のコンパクト化とも関係する，応用の広い重要な定理です．準安定還元定理の，一般 の多様体への拡張は未解決の問題ですが，最近 de Jong により，それより少し弱い主 張が証明され，局所体上の多様体の研究の，有効な手段として用いられています． N´eron-Ogg-Shafarevich 判定法や，準安定還元定理は，局所体上の多様体に対するも のですが，同じく「ｌ 進表現による多様体の統制」という考えに基づくものとして，大 域体上の Abel 多様体に対する Tate 予想があります．これは，「代数体上の Abel 多様体 の同種類 (同種に関する同値類）は，ｌ 進表現の同型類で定まる」というものです．Serre は，これを楕円曲線の場合に，ある条件のもとで証明しています ([5])．一般の Abel 多 様体については，Faltings が 1983 年に証明しました．これの帰結として，「代数体上定 義された種数が 2 以上の代数曲線は，有理点を有限個しかもたない」という Mordell 予 想も，同時に証明されました． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/380
381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 20:14:31.87 ID:wEGnwISi >>380 つづき X がよい還元をもつ素数 p ≠ ｌ では，Weil 予想を仮定すれば， Pp(Hq(X), t) = det(1 ? F rpt : Hq(X￣ , Q)) とおくことに，疑問の余地はありませんでした．Weil予想によれば，これは X の p を法 とした還元として得られる多様体に対し，Weil 予想の 1. の式 (1) の右辺の多項式 Pq(t) を与えるのです．ここで，F rp は幾何的 Frobenius と呼ばれる作用素です．例えば Q 上の楕円曲線 E が，素数p でよい還元をもつとすると，Pp(H1(E), t)=1?ap(E)t+pt2 となります．ここで，ap(E) は ♯E(Fp)=1 ? ap(E) + p で定まる整数です． 悪い還元をもつ素数 p では，Galois 群の作用が不分岐とは限らないため，F rp の作 用が定義されないのです．悪い還元をもつ素数は多様体ごとに有限個しかありません が，Serre は，これらの素数での Euler 因子の正しい定義を与えることを重視していま す．1964 年 8 月 2-3 日付けの手紙で，その理由として，悪い素数での Euler 因子の正し い定義を与えることにより，L 関数の関数等式が，Weil 予想の 2. の式 (2) のように，き れいな形をもつようにできることをあげています．またこの問題が，上の 1. で述べた ような，局所体上の ｌ 進表現の研究の動機ともなっていたようです． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/381
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