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IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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17: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:29.59 ID:W0WIc7wX >>16 つづき 3 写像の変形理論 正標数でも同様の理論を作り，埋め込みの写像 π : S → M の変形を考えることで，応用が増えます。実際，森重文 (1979/1982) はまず，M が Fano 多様体 (P2 を高次元へ拡張 したもの) のとき，かってにとった曲線をもとに，正標数特 有の技巧 (Frobenius 写像) と正標数の写像の変形理論によっ て，写像を変形し，曲線をついに折れるまで曲げて，標数 0 のときも含め有理曲線 P1 を構成しました。さらに，得られ た有理曲線を，再び，写像の変形理論によって，次数のより 低い有理曲線に分解しました。これが，森理論の核心部分で す。この応用として，森重文は Hartshorne 予想を解決しまし た。森の方法は，有理曲線を構成する方法として多くの専門 家に応用され，今では，Bend and Break（曲げて折る) とい う名前がついている程です。 4 剛性定理 変形理論というのは，変形が豊かに存在して始めて面白い わけですが，逆に変形しても，全然変化しない多様体があり ます。あるいは，もっと強く，多様な複素構造が許されない ような（可微分) 多様体があります。 定理 4 K¨ahler 複素多様体が射影空間 Pn と位相同型ならば 複素多様体としても同型。 n が奇数の時は [小平-Hirzebruch1958/p.744] によって証明 され，n が偶数の時は，Yau により証明が完成されました (1977)。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/17
18: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:49.85 ID:W0WIc7wX >>17 つづき 5 Donaldson 理論 ここで，Donaldson 理論についてほんのすこしだけ説明し ます。簡単のため，X を単連結な実 4 次元可微分多様体，MX を X に付随したある空間の反自己双対接続 (一般化された微 分，これをインスタントンと呼ぶ) のモジュライ空間としま す。モジュライ空間というのは，この場合はインスタントン を全部集めた空間のことです。A ∈ MX をひとつのインスタ ントン，A + α をその近くのインスタントンとしたとき，α は微分方程式 DA+(α)+[α, α]+ = 0 を満たします。 こうして，MX は局所的には，複素構造の 変形空間によく似た形の微分方程式で記述されます。AtiyahSinger-Hitchen は，(小平-Spencer-) 倉西による変形空間の 研究の方法を適用して，MX の研究を始めました。その後 Taubes,Uhlenbeck らの結果を用いて，Donaldson は MX の 構造を解明し，多くの重要な結果を導き，さらに Donaldson 多項式と呼ばれる可微分多様体の新しい不変量を発見しまし た。もしふたつの単連結な実 4 次元可微分多様体 X，X の Donaldson 多項式が異なれば，X,X は (向き付けを保って) 可微分同相にはなりません。この不変量はホモトピー K3 曲面 をはじめ多くの複素曲面に適用されて，興味深い結果が証明さ れました。定理 9 のタイプの最初の重要な応用は Donaldson によりますが，本稿の話題とずれるので，割愛します。 小平先生のご冥福をお祈りしつつ，筆をおきます。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/18
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