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IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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16: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:06.42 ID:W0WIc7wX >>15 つづき 定理 1 (小平-Nirenberg-Spencer1958/p.910) M をコンパク トな複素多様体とし，H2(ΘM)=0 と仮定する。このとき， N 個の parameter t1，・・・，tN に依存したコンパクトな複素 多様体の族 {M(t1, ・・・ , tN )} が存在して，どんな M の微少変 形も {M(t1 ・・・tN )} のなかに同型なものがある。ただし，N は複素ベクトル空間 H1(ΘM ) の次元，M(0, ・・・ , 0) = M。 ∂M(t)/∂t は一次の幾何学的微分です。そして，H2(ΘM) = 0 は Taylor 級数で２次以上の項がないという条件に相当し，定 理 1 は，すべての変形 (幾何学的 Taylor 級数) が H1(ΘM )(一 次の微分) で決定されることを主張しています。 その後のあらゆる種類の変形理論を通じて，この形の定理 は，応用上もっとも重要です。 上の定理は，それらのすべての原形を与えている点で，歴史的にも，重要な意味を持って います。 この理論は最近，Mordell-Weil 格子の理論 (塩田 1989-1997 なお発展中) の中で，より精密な形で再構成されました。ま た，Mordell-Weil 格子の理論のひとつの応用として，E8 の Weyl 群という非常に大きなガロア群 (位数 214 ・ 35 ・ 52 ・ 7) を 持つ代数方程式がすべて決定されています。このほか，多く の素晴しい結果が得られていますが，この理論の基本的なと ころでは，楕円曲面の理論 (小平 1963/p.1269) が用いられて います。（楕円曲面については，浪川氏の解説を参照してくだ さい。) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/16
17: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:29.59 ID:W0WIc7wX >>16 つづき 3 写像の変形理論 正標数でも同様の理論を作り，埋め込みの写像 π : S → M の変形を考えることで，応用が増えます。実際，森重文 (1979/1982) はまず，M が Fano 多様体 (P2 を高次元へ拡張 したもの) のとき，かってにとった曲線をもとに，正標数特 有の技巧 (Frobenius 写像) と正標数の写像の変形理論によっ て，写像を変形し，曲線をついに折れるまで曲げて，標数 0 のときも含め有理曲線 P1 を構成しました。さらに，得られ た有理曲線を，再び，写像の変形理論によって，次数のより 低い有理曲線に分解しました。これが，森理論の核心部分で す。この応用として，森重文は Hartshorne 予想を解決しまし た。森の方法は，有理曲線を構成する方法として多くの専門 家に応用され，今では，Bend and Break（曲げて折る) とい う名前がついている程です。 4 剛性定理 変形理論というのは，変形が豊かに存在して始めて面白い わけですが，逆に変形しても，全然変化しない多様体があり ます。あるいは，もっと強く，多様な複素構造が許されない ような（可微分) 多様体があります。 定理 4 K¨ahler 複素多様体が射影空間 Pn と位相同型ならば 複素多様体としても同型。 n が奇数の時は [小平-Hirzebruch1958/p.744] によって証明 され，n が偶数の時は，Yau により証明が完成されました (1977)。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/17
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