IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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102: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/12(日) 10:28:21.55 ID:/6i4k5qr

>>98 脱線

「４３ フェルマーの最終定理」中のポアンカレ予想の説明がちょっと違うな

誤：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元空間において、破れた穴の空いていない複雑な形をした立体』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『3 次元の球そのものである』ということである。
　↓
正：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『4 次元空間中の3次元の球面である』ということである。

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
ポアンカレ予想
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincare conjecture）とは、数学の位相幾何学（トポロジー）における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面

三次元（超）球面（さんじげんきゅうめん、英: 3-sphere; 3-球面）あるいはグローム (glome[1]) [注釈 1]は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/102

122: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/14(火) 00:19:30.45 ID:vq8RyVMN

>>102
これ、「４３ フェルマーの最終定理」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/43_fermat.pdf
中のポアンカレ予想の説明の話だが、もう少し正確に書くと

誤：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元空間において、破れた穴の空いていない複雑な形をした立体』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『3 次元の球そのものである』ということである。
　↓
正：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元以上の空間において、”破れて穴の空いて”いない（閉じた）局所3次元ユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）』
「単連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』
「3 次元球面 S^3」とは『4次元ユークリッド空間中の4次元球体の境界を成す3次元の多様体』
「同相」とは、『2つの多様体x,yの間に同相写像が存在する』ということである。

かな（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面

四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。
通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/122

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