[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)

IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/

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380: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 20:14:05.25 ID:wEGnwISi 良い還元、悪い還元 （メモ） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/serre.pdf 齋藤毅 Serre (抜粋) 1964 年 8 月 8 日に Ogg あてに書かれ， 「交信録」に収録された手紙で，Serre は後に N´eron-Ogg-Shafarevich 判定法の名前で知 られることになる定理を述べています．これは，「局所体上の Abel 多様体がよい還元を もつという条件は，それが定める ｌ 進表現が不分岐であるという条件と同値である」と いう定理です（「Serre 全集」論文 79）．この定理は，ｌ 進表現が，幾何的な性質を統制 する強力なものであることを主張しています． 同じ Ogg あての手紙の中で，Abel 多様体に対する準安定還元定理を「素朴な疑問」 として述べています．これは，その後まもなく，Mumford と Grothendieck により証 明されました．さらにそれを使って，代数曲線に対する準安定還元定理も，Deligne と Mumford により証明されました．これらの準安定還元定理は，それぞれのモジュライ のコンパクト化とも関係する，応用の広い重要な定理です．準安定還元定理の，一般 の多様体への拡張は未解決の問題ですが，最近 de Jong により，それより少し弱い主 張が証明され，局所体上の多様体の研究の，有効な手段として用いられています． N´eron-Ogg-Shafarevich 判定法や，準安定還元定理は，局所体上の多様体に対するも のですが，同じく「ｌ 進表現による多様体の統制」という考えに基づくものとして，大 域体上の Abel 多様体に対する Tate 予想があります．これは，「代数体上の Abel 多様体 の同種類 (同種に関する同値類）は，ｌ 進表現の同型類で定まる」というものです．Serre は，これを楕円曲線の場合に，ある条件のもとで証明しています ([5])．一般の Abel 多 様体については，Faltings が 1983 年に証明しました．これの帰結として，「代数体上定 義された種数が 2 以上の代数曲線は，有理点を有限個しかもたない」という Mordell 予 想も，同時に証明されました． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/380

381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 20:14:31.87 ID:wEGnwISi >>380 つづき X がよい還元をもつ素数 p ≠ ｌ では，Weil 予想を仮定すれば， Pp(Hq(X), t) = det(1 ? F rpt : Hq(X￣ , Q)) とおくことに，疑問の余地はありませんでした．Weil予想によれば，これは X の p を法 とした還元として得られる多様体に対し，Weil 予想の 1. の式 (1) の右辺の多項式 Pq(t) を与えるのです．ここで，F rp は幾何的 Frobenius と呼ばれる作用素です．例えば Q 上の楕円曲線 E が，素数p でよい還元をもつとすると，Pp(H1(E), t)=1?ap(E)t+pt2 となります．ここで，ap(E) は ♯E(Fp)=1 ? ap(E) + p で定まる整数です． 悪い還元をもつ素数 p では，Galois 群の作用が不分岐とは限らないため，F rp の作 用が定義されないのです．悪い還元をもつ素数は多様体ごとに有限個しかありません が，Serre は，これらの素数での Euler 因子の正しい定義を与えることを重視していま す．1964 年 8 月 2-3 日付けの手紙で，その理由として，悪い素数での Euler 因子の正し い定義を与えることにより，L 関数の関数等式が，Weil 予想の 2. の式 (2) のように，き れいな形をもつようにできることをあげています．またこの問題が，上の 1. で述べた ような，局所体上の ｌ 進表現の研究の動機ともなっていたようです． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/381

386: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 21:51:41.26 ID:wEGnwISi 齋藤毅 ・楕円曲線 ・楕円曲線の有理点 ・Fermat の最終定理 ・数論幾何におけるGalois表現 （参考） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/0121.pdf 齋藤毅 講義の内容： １．楕円曲線． ２．保型形式． ３．それらの関係． １．楕円曲線 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho2.pdf 齋藤毅 1 楕円曲線の有理点 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho.pdf 齋藤毅 Fermat の最終定理 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf 齋藤毅 数論幾何におけるGalois表現 (抜粋) 1.2 Galois 群の ｌ進表現 S = { 素数 } II {∞} = {2, 3, 5, 7,..., ∞} とおく. S を代数曲線のようなものと考 え, 有理数体をその関数体と考えるのが, 標準的なみかたである. 無限素点 ∞ は有理数 体 Q の実数体 R = Q∞ へのうめこみのことである. 各素数 p は, 有理数体 Q の pｌ進体 Qp へのうめこみを定める. これを有限素点とよび, 有限素点と無限素点を完全に対等 なものとして扱おうというのが現代の数論の基本的な姿勢である. このように考えた とき, S(正確にはその開集合) 上の局所定数層あるいは局所系とよぶべきものが, Q の 絶対 Galois 群 GQ の ｌ進表現である. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/386

387: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 21:52:18.76 ID:wEGnwISi >>386 つづき Q の絶対 Galois 群 GQ = Gal(Q￣ /Q)とは, Q の代数閉包 Q￣ の自己同型群 Aut(Q￣ ) の ことである. 素数 に対し, GQ の ｌ進表現とは ｌ進体 Q 上の有限 (n) 次元線型空間 V への連続表現 GQ → GLQl (V )(=~ GLn(Ql)) のことをいう. 素数は S の点を表わすとき には文字 p を使い, S 上の局所系の係数体を表わすときは を使う習慣となっている. ｌ進表現だけでは, 無限素点の扱いかたが不十分なので, さらにこれと対応する Hodge 構 造と対にして考える必要がある [5]. 有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群 GQ の ｌ進表現 (と Hodge 構造の対) を対応させることができる. 代数多様体, 保型形式 ⇒ ｌ進表現 (+ Hodge 構造). このような対応により, 有理数体上の代数幾何的あるいは表現論的対象を, より線型代 数的な対象である ｌ進表現をつかって調べることができる. またその逆に, Galois 表現 という数論的に重要な対象を, 幾何的な方法や表現論的な方法をつかって調べることも できる. 代数多様体の例として Fermat 曲線をとると, 上のものになる. 実際に Galois 表現を構成する手段は, おもにエタール・コホモロジーである. 1. E を有理数体 Q 上定義された楕円曲線とする. Tate 加群 TE = lim←? nKer(n :E(Q￣ ) → E(Q￣ )) は, 階数 2 の自由 Z-加群であり, 自然な Galois 群 Gal(Q￣ /Q) の表現を もつ. E のエタール・コホモロジー H1(EQ￣ , Q) は, 双対空間 Hom(TE, Q) と標準同 型である. E(C) を C の格子 T による商 C/T として表わせば, TE =~ T ◯xZ Zl であり, H1(EQ￣ , Ql) =~ Hom(T, Ql) である. 有理数体上定義された楕円曲線に対し, 上の例 1 の ようにしてえられる ｌ進表現が, 例 2 のように保型形式から定まる ｌ進表現であること を示すことによって, Fermat 予想が解決されたのだった ([8] 参照). 2.4 weight-monodromy 予想 3.1 導手公式. 局所体の ｌ進表現の分岐から生じる不変量のうちで最も基本的なものはその導手と よばれるものである. E が楕円曲線のときには, Tate-Ogg の式 [30] と同値である [31]. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/387

388: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 21:57:11.26 ID:wEGnwISi >>385 ID:YlamIWN4は、維新さん 無職ヒキコモリ ５ｃｈ 粘着さん（＾＾ （参考） http://hissi.org/read.php/math/20200808/WWxhbUlXTjQ.html 数学必死チェッカーもどき ID:YlamIWN4 書き込み順位 1 位/108 ID中 書き込み数 Total 35 使用した名前一覧 Anti-Capitalist １３２人目の素数さん Anarchy in Japan 書き込んだスレッド一覧 「富の不平等は必然的に生じる」と数理モデルで証明可能 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 0.99999……は１ではない　その11 全ての命題が真かもしれないという事実 【地底】大阪・東北・名古屋・九州大学スレッド IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/388

390: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 23:45:18.81 ID:wEGnwISi 人格攻撃は、 維新さんのお得意技じゃないかい？ それと、 Anti-Capitalist Anarchy in Japan とか なんなの？ 政治（サヨク）がすきなのか？ 数学板で Anti-Capitalist Anarchy in Japan とか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/390

391: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 23:58:29.70 ID:wEGnwISi >>382 なんか勘違いしてない？ ・わたしゃ、あんたら、コウモリと違うよ 　こんな、５ｃｈみたいところで、威張ってどうする？　 　あんたら、数学科出て落ちこぼれたから、５ｃｈみたいところで威張る 　鳥無き里のコウモリ（数学ＤＲが居ないところで、数学科のオチコボレがさ） ・賢者？ そんなのは、いまどきの５ｃｈには、”賢者”おらんでしょ？　自分含む 　賢者の定義が分からんけど、プロ数学者だとしただが 　（昔は、プロ数学者が居たという。また、それらしき人が、ガロアスレに来たこともあったな） ・それよか、みんなが分かってきたのは 　維新さん、あんた、アホやってことじゃね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/391

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