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IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/
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27: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/23(火) 00:02:50.91 ID:nKssTr8/ https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/j-index.html 斎藤 毅のホームページ https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk.html 斎藤 毅 講演 2011 中央大学数学科談話会 フェルマーの最終定理 ー その証明の主役たち 4月22日(金) 16時30分から17時30分 中央大学後楽園キャンパス６号館３階 6302教室 が下記かも https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/0121.pdf Fermat’s Enigma （IUTに対する目を慣らすために） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/27
28: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/23(火) 00:09:13.57 ID:nKssTr8/ 1 点抜き楕円曲線が、IUTに出てきます https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/ 数学総合 若手研究集会INDEX https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2019/pdf/00900_sarashina_akira.pdf 1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元 京都大学大学院 理学研究科 数学・数理解析専攻 数理解析系 更科明 (Akira SARASHINA) 概要 1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味 で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏 の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。本稿では正標数代数閉体上の曲 線に対しても ´etale 基本群が多くの情報を持つ事、また特別な場合に元の曲線の同型類が復元で きる事を紹介する。 Grothendieck により U が遠アーベル多様体であるとき U の幾何は (ある意味で) 上記の完全列 から復元されるという、今日では Grothendieck 予想とも呼ばれる予想が提唱された (c.f. [2], [3])。 Grothendieck は遠アーベル多様体の定義を残していないためこの予想は厳密に定式化されたもので はないが、一次元の場合は遠アーベルと双曲的が同値であると予想した。この曲線に対する予想は中 村博昭氏、玉川安騎男氏の部分的な結果を経て望月新一氏によって肯定的に解決された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/28
29: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/23(火) 00:18:28.54 ID:nKssTr8/ 楕円曲線の解説 見ておいた方が良いと思う http://www.imetrics.co.jp/ S. Kusafusa http://www.imetrics.co.jp/academy/EllipticCurves&ModularForms.pdf 楕円曲線とモジュラー形式 Elliptic curves and modular form 楕円曲線が少ないという概念は、楕円曲線の全体からなる「楕円曲線のモジュ ライ空間 moduli space と呼ばれる集合を理解して初めて成立する。 モジュライ空間は、楕円曲線の集合に、ある数学的な解釈をいれたものである。 したがって、それを理解するためには、まず楕円曲線を理解する必要がある。 そして、その前に、数学における図形という概念を理解する必要がある。楕円 曲線も、またその全体集合であるモジュライ空間も、現代数学においては１つ の図形（多様体）とみなされる。そして、それらは、いずれも、ある空間に群 が作用したときの基本群 fundamental group とみなされるのである。 １．基本領域 数学で用いられる図形の基本的な見方に、普遍被覆空間universal covering spaceを基本群で割ったものとして図形を解釈する方法がある。 2 次元トーラスを例にとる。2 次元トーラスは、xy 平面 R^2 に次の操作を施し て得られる図形である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/29
30: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/23(火) 00:26:30.71 ID:nKssTr8/ ”「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）” http://www.comp.tmu.ac.jp/s-yokoyama/lectures/2015-2018/files/2014Yamagata.pdf 山形大学理学部数理科学科 2014 年度後期「数理情報特選 F/数理科学特別講義 E」講義資料 1 計算する立場からの楕円曲線論入門 The arithmetic of elliptic curves from a viewpoint of computation 横山 俊一1（Shun’ichi Yokoyama） 九州大学大学院 数理学研究院 / JST CREST P6 特異点は 2 種類存在する. 一つは y 2 = x3 のように尖った部分に現れるもので, これをカスプ（cusp） と呼ぶ. もう一つは y2 = x3 + x2 のように自己交差（この場合原点で交差する）を持つもので, こ れをノード（node）と呼ぶ. ?(E) = 0 の時, 特異点がどちらのタイプであるかを判定する規準が存 在する. 命題 2.8. ?(E) = 0（特異点を持つ）と仮定する. この時, 特異点がカスプ型であるための必要十分 条件は c4 = 0 である. また, 特異点がノード型であるための必要十分条件は c4≠ 0 である. Ep はいつも楕円曲線になる（i.e. ?(Ep)≠ 0）とは限らない. 正確には, p が判別式 ?(E) を割り 切るような素数を選んでしまうと ?(Ep) = 0 となる. そこで, 還元しても楕円曲線であり続ける場 合, これを “良い還元” と呼ぶ事にしよう. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/30
31: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/23(火) 00:26:46.40 ID:nKssTr8/ >>30 つづき 定義 2.33. Ep が Fp 上の楕円曲線となる（i.e. ?(Ep) ?= 0）時, E は p で良い還元を持つ（has good reduction at p）と呼ぶ. 逆に Ep に特異点が出現し, Fp 上の楕円曲線でなくなる（i.e. ?(Ep) = 0） 時, E は p で悪い還元を持つ（has bad reduction at p）と呼ぶ. 補足 2.34. 上の状況で, それぞれの p を「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）と呼ぶ事 もある. ?(E) の素因子のリストは, 悪い素数のリストに一致する. 更に, 悪い還元の時には Ep に特異点が出現するが, その特異点には 2 種類あった事を思い出そう （命題 2.8 及びその直前の文脈. c4 が 0 か否かでノード型かカスプ型に分かれるのであった）. その ため, 悪い還元を更に 2 つに分類する. 定義 2.35. E が p で悪い還元を持つとする. Ep がノード型の特異点を持つ時, E は p で乗法的（半 安定）還元を持つ（has multiplicative (semistable) reduction at p）と呼ぶ. Ep がカスプ型の特異点 を持つ時, E は p で加法的（不安定）還元を持つ（has additive (unstable) reduction at p）と呼ぶ. これを用いて導手を定義する. 判別式が「悪い素数のリスト」を与えていたのに対し, 導手は 「悪い素数のリスト＋還元の様子」を与えており, しかも不変量となる. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/31
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