IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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743: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/04(水) 14:45:17.18 ID:lTaOluRt

>>742
> ３．要するに、ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
> ４．それは、自然数（＝ある前者があって その後者関数から作られる普通の順序数）とは、異なる性質を持って良い！

補足説明するよ
・例えば、コーシー列：有理数からなるコーシー列で実数、例えばπなどの超越数ができる
　超越数は分数表示ができず、数の性質が”有理数→超越数”に変わっている
・例えば、ωはリーマン球面の北極点に例えることができる
　複素数のガウス平面を丸めて、リーマン球面ができる
　いわゆる一点コンパクト化（下記）。無限遠の点∞を付け加える。こうすると、理論的にすっきりするのです
　点∞はある種の極限で、ガウス平面には存在しない。つまり、他の複素数とは、その性質を異にするのです
・Zermeloのシングルトンによるωも、ある種の一点コンパクト化
　で、この種コンパクト化は後者関数の選び方にはよらない
・普通は、”自然数ｎ→∞の極限”とか、”コンパクト化”は書かない。避ける
　∵そうかくと、基礎論的にはまずいから。循環論法になるよ
　つまり、基礎論として最初は空集合と公理のみからスタートする
　その時点では”極限”も”コンパクト化”も言えない
　けど、何らかの手段（例えばノイマンとか）で、全部自然数とか実数とか出来上がってからなら、一段高い立場からは言える。それは循環論法でないよね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
目次
1 コーシー数列
1.1 実数におけるコーシー列
有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。
実数はコーシー列の極限として定義された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
目次
1 概要
2 基本事項
3 アレクサンドロフの一点コンパクト化

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/743

744: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/04(水) 15:06:33.11 ID:lTaOluRt

（>>718より、さらに補足）
１．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
２．ここに、 S(α) は、後者関数である
３．0, 1, 2, 3, ............の部分は、有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいて、後者関数で表現できるのだ
　 つまり S(n) ：＝S(n-1) だ。ωのみは、後者関数で表現できない
４．じゃ、ωとは何者よ？ 一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
　いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。それは、コーシ列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
　このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
　Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、ωの位置を占めるものになるよね
　それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
５．こう解釈して何が悪い？ 抽象化された現代数学での 有理数以上における 数学的概念の対象って、みんなそんなものでしょ？
　これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/744

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