IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 18:36:16.82 ID:jEjJjPRO

>>47

つづき

パーフェクトイド空間を使うと、コホモロジーが調べやすくなると言いましたが、これはどういう事か簡単に説明します。

冒頭で体の標数の話を出しましたが、代数幾何や数論幾何で図形を考えるとき（＝多項式を考えるとき）、その多項式の係数がどの標数の体のものかというのが重要になってきます。

つまり、標数0の体係数の多項式を考えているのか？　それとも標数pの体係数の多項式を考えているのか？　ということが大事になるということです。

ところがこれがパーフェクトイド空間の場合では標数0だろうと標数pだろうと関係ない（と言うと乱暴ですが、、、）という性質が発見されています。

もう少し言うと、パーフェクトイド空間の世界では標数0の体と標数pの体を同じものとして扱うことができると言うことがScholzeによって証明されています（これはTilting対応と呼ばれています）。

このTilting対応を使うことで今までよりもずっと簡単に、広くコホモロジーを調べることが可能になりました。

パーフェクトイド空間を使うと、コホモロジーが調べやすくなると言いましたが、これはどういう事か簡単に説明します。

このTilting対応を使うことで今までよりもずっと簡単に、広くコホモロジーを調べることが可能になりました。

パーフェクトイド空間の勉強をしたい方への参考文献
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/48

49: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 21:49:52.32 ID:jEjJjPRO

>>45 追加

http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron.html
複素解析特論 I　（タイヒミュラー空間入門）
2011年度前期，大学院生対象．
シラバスおよび講義ノートはこちらです：
(第１〜６回） http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron.pdf
(第７回〜第１３回） http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf

第13回(2011/7/26)　正則2次微分とタイヒミュラーの定理
ベアス埋め込みについて簡単に復習したあと， タ空間に複素構造を導入する方法を説明しました． そのあと，正則2次微分が定めるリーマン面上の葉層構造と， 「アファイン・ストレッチ」による変形として タイヒミュラー写像を導入し，タイヒミュラーの定理を 証明無しで述べました． 最後に簡単なアンケートをとりました． 最後まで授業に出てくれたみなさん， お疲れさま，そしてありがとうございました．
(2011/7/19)　休講
第12回(2011/7/12)　ベアス埋め込み
先週やりのこしたタ距離の完備性などを解説し， ベアス埋め込みについて概説しました． タ空間が複素多様体とみなせる，という部分は次回に．
第11回(2011/7/5)　フックス群のタイヒミュラー空間と タイヒミュラー距離
フックス群のタ空間を定義し， それがもとのタ空間と同一視できることを確認． それからタ距離を定義しました．
第10回(2011/6/28)　タイヒミュラー空間とモジュライ空間
モジュライ空間がタ空間のモジュラー群による商空間 とみなせることをやりました． トーラスのタ空間が上半平面とみなせることを紹介しました．
第9回(2011/6/21)　タイヒミュラー空間の定義
まず例外型リーマン面について述べた後， 写像の持ち上げの構成法と写像のホモトピーの定義を確認． 残り15分で，長い道のりでしたが，やっとタ空間を定義しました．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/49

51: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 23:01:24.66 ID:jEjJjPRO

”Teichmuller space” 良く纏まっている
https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmuller space

The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late seventies, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface.
Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.

Quadratic differentials and the Bers embedding
Main article: Schwarzian derivative
Main article: Bers slice

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Bers-Einbettung.png/220px-Bers-Einbettung.png
Image of the Bers embedding of a punctured torus' 2-dimensional Teichmuller space

https://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_of_algebraic_curves
Moduli of algebraic curves

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/51

52: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 23:02:30.33 ID:jEjJjPRO

>>51
つづき

In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.

The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces, in particular their dimensions ("number of parameters on which the complex structure depends").

Genus 1
Main article: Moduli stack of elliptic curves

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/52

53: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/06/27(土) 23:03:08.86 ID:jEjJjPRO

>>52
つづき

Boundary geometry
Here the vertices of the graph correspond to irreducible components of the nodal curve, the labelling of a vertex is the arithmetic genus of the corresponding component, edges correspond to nodes of the curve and the half-edges correspond to the markings.
The closure of the locus of curves with a given dual graph in {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}\overline {{\mathcal  {M}}}_{{g,n}} is isomorphic to the stack quotient of a product {\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}\prod _{v}\overline {{\mathcal  {M}}}_{{g_{v},n_{v}}} of compactified moduli spaces of curves by a finite group.
In the product the factor corresponding to a vertex v has genus gv taken from the labelling and number of markings {\displaystyle n_{v}}{\displaystyle n_{v}} equal to the number of outgoing edges and half-edges at v. The total genus g is the sum of the gv plus the number of closed cycles in the graph.

https://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_stack_of_elliptic_curves
Moduli stack of elliptic curves
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/53

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