IUTを読むための用語集資料集スレ

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435: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 08:11:17.31 ID:gEQArxFG

メモ
https://carmonamateo.github.io/letters/LMC17.pdf
Dear Carmona, 13.11.2017
There is a very substantive mathematical difference between the theory of Galois categories/topoi as developed in SGA1/SGA4 and the theory of anabelioids as developed in my paper "The Geometry of Anabelioids":
Namely, the notion of slimness allows one to work with 1-categories of (slim) anabelioids, whereas the theory of Galois categories/topoi as developed in SGA1/SGA4 gives rise to 2-categories of Galois categories/topoi. In particular, "Galois groups"
(i.e., in the classical sense) arise naturally as groups of 1-morphisms in 1-categories of slim anabelioids, which is a very substantive mathematical difference from the way in which they arise in 2-categories of Galois categories/topoi, i.e., as groups of 2-morphisms in 2-categories.
This difference between 1- vs. 2-categories or 1- vs. 2-morphisms plays a fundamental role in the theory of anabelioids (as developed both in my paper "The
Geometry of Anabelioids", as well as in subsequent papers, e.g., papers on combinatorial anabelian geometry). Put another way, this difference may be understood
as being analogous to the difference between
Algebraic spaces (which form a 1-category)
and
(Deligne-Mumford) algebraic stacks (which form a 2-category).

Of course, algebraic spaces and (Deligne-Mumford) algebraic stacks are closely
related, in the sense that both arise by considering gluing operations in the etale
topology of schemes. On the other hand, the substantive difference between 1-
and 2-categories gives rise to many substantive mathematical differences in various
geometric arguments. In particular, this substantive difference between 1- and 2-
categories is sufficiently significant as to render extremely strange and unnatural
any attempt to use the same terminology for both algebraic spaces and algebraic
stacks.
Sincerely, Shinichi Mochizuki

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/435

440: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 15:07:13.42 ID:gEQArxFG

純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/155-156
より、再掲

追加（下記では"正則"という語は出てこない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる
線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする

任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群

基本的な例
可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である

古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす

行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい

表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/440

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