IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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592(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:22 ID:eIdDsFH8(1/19) AAS
>>590
メモ貼る
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichm¨uller Theory By Shinichi Mochizuki
Received xxxx xx, 2016. Revised xxxx xx, 2020
(抜粋)
省19

593(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:23 ID:eIdDsFH8(2/19) AAS
>>592
つづき
In particular, when one computes the height of a rational point of the projective line
minus three points as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the corresponding elliptic curve, one may ignore, up to bounded discrepancies, contributions to the height that arise, say, from the archimedean valuations or from the
nonarchimedean valuations that lie over some “exceptional” prime number such as 2.

§ 2.2. Arithmetic degrees as global integrals
省16

594(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:23 ID:eIdDsFH8(3/19) AAS
>>593
つづき

§ 2.10. Inter-universality: changes of universe as changes of coordinates
One fundamental aspect of the links [cf. the discussion of §2.7, (i)] − namely, the
Θ-link and log-link − that occur in inter-universal Teichm¨uller theory is their incompatibility with the ring structures of the rings and schemes that appear in their
domains and codomains. In particular, when one considers the result of transporting
an ´etale-like structure such as a Galois group [or ´etale fundamental group] across such
省11

595(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:23 ID:eIdDsFH8(4/19) AAS
>>594
つづき

In this context, we remark that it is also this state of affairs that gave rise to the term
“inter-universal”: That is to say, the notion of a “universe”, as well as the use of
multiple universes within the discussion of a single set-up in arithmetic geometry, already
occurs in the mathematics of the 1960’s, i.e., in the mathematics of Galois categories
and ´etale topoi associated to schemes. On the other hand, in this mathematics of the
省11

596(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:24 ID:eIdDsFH8(5/19) AAS
>>595
つづき

That is to say, it is precisely this sort of situation that is referred to by the term
“inter-universal”. Put another way,
a change of universe may be thought of [cf. the discussion of §2.7, (i)] as
a sort of abstract/combinatorial/arithmetic version of the classical notion
of a “change of coordinates”.
省21

597: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)09:24 ID:eIdDsFH8(6/19) AAS
>>596
つづき

Finally, in passing, we note that this discussion applies, albeit in perhaps a somewhat
trivial way, to the isomorphism of Galois groups ΨηX : GK〜→ GK induced by the
Frobenius morphism ΦηX in Example 2.6.1, (i): That is to say, from the point of view
of classical ring theory, this isomorphism of Galois groups is easily seen to coincide with
the identity automorphism of GK. On the other hand, if one takes the point of view
省8

598(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)10:36 ID:eIdDsFH8(7/19) AAS
>>592
"Szpiro Conjectures. In this case, the height of a rational point may
be thought of as a suitable weighted sum of the valuations of the q-parameters of
the elliptic curve determined by the rational point at the nonarchimedean primes of potentially multiplicative reduction [cf. the discussion at the end of [Fsk], §2.2; [GenEll],”

”q-parameter”：多分下記の楕円テータ関数「q = e^2πiτ」だろうね（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:member.ipmu.jp
Yuji Tachikawa 立川裕二
省22

599(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)10:52 ID:eIdDsFH8(8/19) AAS
>>598 補足
>楕円テータ関数
>昔は q = e^πiτ
>最近は (すくなくとも純粋数学および弦理論では)
>q = e^2πiτ。
>Mathematica はまだ前者の定義。

おっと、山下では、
省13

600: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)10:58 ID:eIdDsFH8(9/19) AAS
>>591
”外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガウス和
歴史
このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
Σ{r} e^{2πir^2}/p}
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。”
省4

601(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)11:15 ID:eIdDsFH8(10/19) AAS
>>599
>Lemma 7.4. ([EtTh, Proposition 1.4])

追加
q-parameters の定義の明記がないな
まあ、q := e^2πiτかな？

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
THE ETALE THETA FUNCTION AND ´
省7

602(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)17:08 ID:eIdDsFH8(11/19) AAS
>>601
>q-parameters

モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モジュラー形式
(抜粋)
省14

603: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)17:08 ID:eIdDsFH8(12/19) AAS
つづき

モジュラー曲線上の函数としての扱い
C の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。上で格子の集合上の函数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の集合の上の函数ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式はモジュラー曲線の上の直線束の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。
直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし射影空間 P(V) 上の函数を考える。V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数函数しか存在しない。条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理函数を考えれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = ckF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。これは代数幾何学において層（この場合は直線束）の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。

例
テータ函数
θ_L(z)=Σ_{λ ∈ L} e^πi|λ|^2 z
省5

604(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)17:08 ID:eIdDsFH8(13/19) AAS
つづき

モジュラー函数
複素変数複素数値の函数 f がモジュラーである、あるいはモジュラー函数とは、以下の条件

f は上半平面 H 上で有理型である;
モジュラー群 Γ に属する任意の行列 M に対して f(Mτ) = f(τ) を満たす;
f のフーリエ級数は
f(τ )=Σ_{n=-m}-{∞}a(n)e^{2iπ nτ}
省9

605: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)17:09 ID:eIdDsFH8(14/19) AAS
>>604
つづき

デテキント・エータ函数は、
η (z)=q^{1/24} Π_{n=1}-{∞} (1-q^n), q=e^{2π iz}
と定義され、モジュラー判別式（英語版） Δ(z) = η(z)^24 はウェイト 12 のモジュラー形式である。
この 24 という数は、次元 24 をもつリーチ格子（英語版）に関係する。
有名なラマヌジャン予想は、任意の素数 p に対して q^p の係数は、絶対値 2p^(11/2) 以下であることを主張し、ピエール・ドリーニュによってヴェイユ予想に関する研究の結果より、解決された。
省5

606(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)19:37 ID:eIdDsFH8(15/19) AAS
>>602
>>q-parameters
>モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か

補足
モジュラリティ定理 q=e^{2πiτ}
「N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）」
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省17

607(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)19:37 ID:eIdDsFH8(16/19) AAS
>>606
つづき

この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse?Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。

逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の正則微分（英語版）(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。

モジュラーな楕円曲線
以下のような手続きで X_0(N)から作られる楕円曲線 Eのことをモジュラーな楕円曲線と呼ぶ。

ヤコビアン
省4

608: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)19:38 ID:eIdDsFH8(17/19) AAS
>>607
つづき

アーベル多様体
さらに、新形式（英語版）(new form) f∈ S2(Γ_0(N))に対して、アーベル多様体 A'_fを
略
T_Zは、整数係数のヘッケ環である。
T_Z:= Z [T_p, <d>].
省10

609(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)19:54 ID:eIdDsFH8(18/19) AAS
>>606
>>>q-parameters
>>モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か
>補足
>モジュラリティ定理 q=e^{2πiτ}
>「N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる）」
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省14

612(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/25(日)23:24 ID:eIdDsFH8(19/19) AAS
>>610-611
別に整数論などやりたくないし
IUTなど、数学としてやりたいとも思わんｗ（＾＾；

でもさ、>>610のアホ発言では、加藤文元本がバカ売れした説明つかんぜ
それにさ、あなたロジャー・ペンローズが、2020年のノーベル物理学賞を受賞したけど、「どんな研究で受賞したの？」って興味湧かない？
興味もつよね。でも、それを知って、「物理学者になるのか？」というと、そんなことはないでしょ、普通
>>610のアホ発言では、加藤文元本がバカ売れした説明つかんぜ
省2

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