IUTを読むための用語集資料集スレ

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7: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:06:31.51 ID:W0WIc7wX

>>6
どうもありがとう

>せっかくなので日本語Wikipediaに翻訳が載っていない語を挙げてみる

・ホッジシアター/ホッジ劇場/ホッジ舞台：星「IUT入門」目次 § 20. 加法的 Hodge 劇場、§ 25. 乗法的 Hodge 劇場、§ 26. Hodge 劇場と対数リンク
(加法的 Hodge 劇場と乗法的 Hodge 劇場の二種類ある？ ”Hodge 劇場と対数リンク”は、前述の2つを対数リンクで繋ぐ？)

・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv
(Note that each label class of cusps consists of two cusps).
We write LabCusp(†Dv) for the set of label classes of cusps of †Dv.
Note that LabCusp(†Dv) has a natural F*l-torsor structure (which comes from the action of F×l on Q in the definition of X in Section 7.1).

・絶対ガロア群：山下サーベイ P166  We write GK for the absolute Galois group of K for an algebraic closure K.

・グロタンディーク予想：
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Daisuukyokusen%20ni%20kansuru%20Grothendieck%20yosou%20(ronsetsu).pdf
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想 - RIMS, Kyoto 中村博昭, 玉川安騎男, 望月新一
http://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18_files/houkokusyu/09-Nakamura.pdf
グロタンディーク・タイヒミュラー理論の話題から 中村博昭（大阪大学理学研究科）
第 63 回代数学シンポジウム（於 東京工業大学，2018 年 9 月）報告集所収

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/7

9: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:07:13.94 ID:W0WIc7wX

>>8

つづき

・エルミート・ミンコフスキーの定理：
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite%E2%80%93Minkowski_theorem
In mathematics, especially in algebraic number theory, the Hermite?Minkowski theorem states that for any integer N there are only finitely many number fields, i.e., finite field extensions K of the rational numbers Q, such that the discriminant of K/Q is at most N. The theorem is named after Charles Hermite and Hermann Minkowski.
This theorem is a consequence of the estimate for the discriminant
√ {|d_{K}| >=  {n^{n}/{n!}(π/4)^{n/2}
where n is the degree of the field extension, together with Stirling's formula for n!. This inequality also shows that the discriminant of any number field strictly bigger than Q is not ±1, which in turn implies that Q has no unramified extensions.
References
Neukirch, Jurgen (1999). Algebraic Number Theory. Springer. Section III.2 （多分訳本あり）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、 原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。 ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F
二次形式

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/9

11: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:08:24.19 ID:W0WIc7wX

>>10
つづき

・ザリスキの主定理：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD
オスカー・ザリスキ
主な業績は、ザリスキ位相の導入やザリスキの主定理（英語版）の証明を含む可換環論と代数幾何の融合である。
弟子に、ダニエル・ゴーレンシュタイン、広中平祐、ミハイル・アルティン、デヴィッド・マンフォード、ロビン・ハーツホーンら著名な数学者がたくさんおり、優れた指導者でもあった。
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski%27s_main_theorem
Zariski's main theorem
In algebraic geometry, Zariski's main theorem, proved by Oscar Zariski (1943), is a statement about the structure of birational morphisms stating roughly that there is only one branch at any normal point of a variety. It is the special case of Zariski's connectedness theorem when the two varieties are birational.
Zariski's main theorem can be stated in several ways which at first sight seem to be quite different, but are in fact deeply related. Some of the variations that have been called Zariski's main theorem are as follows:
略
The name "Zariski's main theorem" comes from the fact that Zariski labelled it as the "MAIN THEOREM" in Zariski (1943).
略

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/11

12: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:09:07.81 ID:W0WIc7wX

>>11
つづき

・チェボタレフの密度定理：
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem
Chebotarev's density theorem
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field {\displaystyle \mathbb {Q} of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in (Tschebotareff 1926).
Contents
1 History and motivation
2 Relation with Dirichlet's theorem
3 Formulation
4 Statement
4.1 Effective Version
4.2 Infinite extensions
5 Important consequences

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/12

13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 08:09:49.91 ID:W0WIc7wX

>>12
つづき

Important consequences
The Chebotarev density theorem reduces the problem of classifying Galois extensions of a number field to that of describing the splitting of primes in extensions. Specifically, it implies that as a Galois extension of K, L is uniquely determined by the set of primes of K that split completely in it.[6] A related corollary is that if almost all prime ideals of K split completely in L, then in fact L = K.[7]
https://tsujimotterはてなぶろぐ/entry/how-to-use-chebotarev-density-theorem
tsujimotterのノートブック
2018-12-13
ガロア表現とChebotarevの密度定理の使い方
動機と参考文献
きっかけは以前から勉強していた 岩澤理論 でした。どうしても理解したい定理 があって，その証明にガロア表現が出てきます。
特に今回のテーマである 「ガロア表現の同値性」 が関わってくるのですが，その同値性を示すのにどうやら 「Chebotarevの密度定理」（あとで出てきます）が使えるらしいのです。
私の印象ですが，割とこの辺の知識は常識みたいに扱われることが多く，証明にも空気のように「Chebotarevの密度定理より」と書いてあったりします。いったいどうしてChebotarevの密度定理が使えるのかと不思議に思っていました。
しばらく勉強していくうちに，ガロア表現の同値性にChebotarevの密度定理が関係する「理屈」がわかってきました。そのことがとても嬉しくてこの記事を書いています。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/13

15: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 10:13:39.87 ID:W0WIc7wX

>>14
つづき

なかなか、良い本です。でも、今の数学科２年生ではきついかもね
さて、”「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成する”は、下記の北大 中村　郁先生、ご参照

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/indexJ.html
中村　郁のホームページです．北海道大学
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/susemi9711.pdf
小平の変形理論と最近の発展, 数学セミナー, 1997年12月(PDF FILE)
（小平の変形理論とその後の発展）北海道大学 　中村 郁

1 はじめに
この稿では，小平先生の変形理論とその (潜在的なものも含
めた) 影響について，紹介したいと思います。与えられた対
象を出発点 (または初期値) とする新しい対象 (これを変形と
いう)，できればもっとも普遍的な対象を構成し，具体的には
構成できない場合でも，良い変形の存在の証明を目指す，こ
れが変形理論です。小平-Spencer 以前にも Teichm¨uller 理論，
楕円曲線やアーベル多様体の理論はありましたが，変形とい
う概念が数学的に定式化され，強力な数学的手段となったの
は，小平-Spencer の複素構造の変形理論が最初です。この小
平-Spencer の変形理論の確立には，岡，カルタンに始まる連
接層とコホモロジーの理論が必要でした。
その後，小平-Spencer の変形理論は，少なくとも，その考
え方の原理的な点において，代数幾何学の枠組みを越えて，数
学のいろいろな分野で，引き継がれ生き続けています。

E(t) は 1 次元下がって，複素 1 次元したがって，実
2 次元です。E(t) は，t3 = 1 のとき，ドーナツの表面の形を
しています。これを，位相構造が不変と言います。t3 = 1 の
ときは，E(t) が 3 個の（位置を変えた）P1 となるので, 除外
しておきます。
ところで，小平-Spencer は，関数を微分するように，E(t)
の幾何学的な微分ができることを示しました。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/15

19: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 10:15:12.05 ID:W0WIc7wX

>>18
つづき

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/susemi0006.pdf
モジュライと変形理論, 数学の楽しみ, no.20, 2000年８月 (PDF FILE)

P17
小平-Spencer の変形理論とは何か？ 3 次曲線の場合に考えてみる。まず 3
次曲線をひとつとる:

前節と同様に微少変形のコホモロジー群を調べればよい。
答えを同次式によって表示すると、(17) と同様に記号の意味をとることで
すべての同次 3 次式/(xi∂H/∂xj )i,j=0,1,2 (20)
となる。これは 1 次元である。(20) を代表するどんな元 h をとっても、
H + sh = 0 (21)
はE の微少変形の可能性を尽くす。小平-Spencer の一般論は、3 次曲線の場
合このようになる。代数多様体がひとつの同次式で定義される場合で、その
変形理論が例外的なのは唯一 4 次曲面で、このときは、4 次式の枠をはみ出
してしまい、(神様でも) 変形を具体的に書くことはできない。これ以外の場
合には、微少変形は(19) (20) と (21) の類似物で与えられる。

7 変形理論
以上説明したことをもう一度別の言葉で整理すると、変形理論とは局所的
なモジュライ理論のことである。したがって良いモジュライ理論があるため
には、つまりよいモジュライ空間が存在するためには、良い変形理論がなけ
ればならない。代数曲線、アーベル多様体、K3 曲面のモジュライ理論が進ん
でいるのも、これらの場合には良い変形理論があるからである。
現代数学の主要な方法論の一つは、大域的なものを局所的なもののつなぎ
合わせとして理解するということである。その意味でモジュライ理論を理解
するためには変形理論が基礎となる。
モジュライ理論が一番都合よく進められる場合は、モジュライ空間が特異
点を持たない場合である。この場合はモジュライ空間は局所的に一次近似に
よって理解できる。このとき、その局所的な一次近似は、微少変形を記述す
るコホモロジー群であると考えてよい。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/19

23: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/06/21(日) 10:33:02.22 ID:W0WIc7wX

>>22
つづき

加法的/幾何学的な対称性をもとに構成された “加法的 Hodge 劇場” と, 乗法的/数論
的な対称性をもとに構成された “乗法的 Hodge 劇場” を (対称性の出自の観点からは “非
従来的な形” で) 貼り合わせることで得られる概念が, D-Θ±ellNF Hodge 劇場や Θ±ellNF
Hodge 劇場です. (§26 の議論を参照.) そして, 2 つの Θ±ellNF Hodge 劇場を対数リンク
(§9 や §26 を参照) によって結び付けることで, ある単数的乗法的加群を, (a) というコン
パクトな加法的加群に変換することができます. しかも, それは (b) や (c) の “入れ物”
となります. (§8 や §9 の議論を参照.) 一方, “対数写像は設定の環構造に依存する” とい
う事実によって, (単一の) 対数リンクによる (a) という “入れ物” は, Θ リンクと呼ばれ
る設定の環構造と両立しないリンクに対する両立性を持ちません. この問題を回避するた
めに, 対数リンクの無限列から生じる “Frobenius 的対数殻の対数写像による関係の無限
列とそれぞれ Frobenius 的対数殻とエタール的対数殻の間の Kummer 同型” の総体であ
る, 対数 Kummer 対応を考えなければなりません. (§9 や §10 の議論を参照.)
エタール的部分の不定性や対数殻の Kummer 同型に付加されてしまう不定性によっ
て, (a) の多輻的な表示を得るためには, (a) に対するそれぞれ (Ind1), (Ind2) という不定
性 (§10 を参照) を許容しなければなりません. また, 上述の対数 Kummer 対応が上半両
立性を満たすことしか確認することができないという事実によって, (a) の多輻的な表示
を得るためには, (a) に対する (Ind3) という不定性 (§10 を参照) を許容しなければなり
ません. 一方, これまでの説明に登場してきた様々な概念を用いることで, (Ind1), (Ind2),
(Ind3) という比較的 “軽微な不定性” のもと, (ある適切な設定において) (a), (b), (c) を
多輻的に表示することができるのです.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/23

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