[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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7(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:06 ID:W0WIc7wX(1/18) AAS
>>6
どうもありがとう
>せっかくなので日本語Wikipediaに翻訳が載っていない語を挙げてみる
・ホッジシアター/ホッジ劇場/ホッジ舞台：星「IUT入門」目次 § 20. 加法的 Hodge 劇場、§ 25. 乗法的 Hodge 劇場、§ 26. Hodge 劇場と対数リンク
(加法的 Hodge 劇場と乗法的 Hodge 劇場の二種類ある？ ”Hodge 劇場と対数リンク”は、前述の2つを対数リンクで繋ぐ？)
・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv
(Note that each label class of cusps consists of two cusps).
省10
8(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:06 ID:W0WIc7wX(2/18) AAS
>>7
つづき
・ジーゲルの定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において、整数点についてのジーゲルの定理 (Siegel's theorem on integral points) は、1929年のカール・ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の結果であり、与えられた座標系を持つアフィン空間で表現される、代数体 K 上定義された種数 g の滑らかな代数曲線 C に対し、g > 0 であれば、K の整数環 O の座標でC 上の点は有限個しかないという定理である。この結果を適用できる例として、モーデル曲線（英語版）(Mordell curve)がある。
この定理の証明は、ディオファントス近似からのトゥエ・ジーゲル・ロスの定理のあるバージョンとディオファントス幾何学（英語版）(diophantine geometry)からのモーデル・ヴェイユの定理とを結合することにより得られた。（ここで C のヤコビ多様体へ適用するためにヴェイユのバージョンが必要である。）それは、種数のみに依存しディオファントス方程式の任意の特別な代数的な形式に依らない、ディオファントス方程式についての最初の大きな結果であった。種数 g > 1 の場合は、現在、ファルティングスの定理に取って代わられた。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省2
9(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:07 ID:W0WIc7wX(3/18) AAS
>>8
つづき
・エルミート・ミンコフスキーの定理：
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, especially in algebraic number theory, the Hermite?Minkowski theorem states that for any integer N there are only finitely many number fields, i.e., finite field extensions K of the rational numbers Q, such that the discriminant of K/Q is at most N. The theorem is named after Charles Hermite and Hermann Minkowski.
This theorem is a consequence of the estimate for the discriminant
√ {|d_{K}| >= {n^{n}/{n!}(π/4)^{n/2}
省8
10(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:08 ID:W0WIc7wX(4/18) AAS
>>9
つづき
・単数定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ (Dirichlet 1846) による代数的整数論の基本的な結果である[1]。
ディリクレの単数定理は、代数体 K の代数的整数がなす環 {O}_{K} の単数群 {O}_{K}^x の階数を決定する。
単数基準（もしくは、レギュレイター(regulator)ともいう）は、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。
省3
11(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:08 ID:W0WIc7wX(5/18) AAS
>>10
つづき
・ザリスキの主定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オスカー・ザリスキ
主な業績は、ザリスキ位相の導入やザリスキの主定理（英語版）の証明を含む可換環論と代数幾何の融合である。
弟子に、ダニエル・ゴーレンシュタイン、広中平祐、ミハイル・アルティン、デヴィッド・マンフォード、ロビン・ハーツホーンら著名な数学者がたくさんおり、優れた指導者でもあった。
省8
12(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:09 ID:W0WIc7wX(6/18) AAS
>>11
つづき
・チェボタレフの密度定理：
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Chebotarev's density theorem
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field {\displaystyle \mathbb {Q} of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in (Tschebotareff 1926).
Contents
省8
13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:09 ID:W0WIc7wX(7/18) AAS
>>12
つづき
Important consequences
The Chebotarev density theorem reduces the problem of classifying Galois extensions of a number field to that of describing the splitting of primes in extensions. Specifically, it implies that as a Galois extension of K, L is uniquely determined by the set of primes of K that split completely in it.[6] A related corollary is that if almost all prime ideals of K split completely in L, then in fact L = K.[7]
外部ﾘﾝｸ:tsujimotterはてなぶろぐ/entry/how-to-use-chebotarev-density-theorem
tsujimotterのノートブック
2018-12-13
省8
14(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:13 ID:W0WIc7wX(8/18) AAS
・「微分」＆「小平・スペンサー写像」
下記ABC予想入門 PHP 黒川＆小山
P205に スピロ予想
”一般の関数体版でも「微分」が「小平・スペンサー写像」として表れてくる。
望月氏の論文は、「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成するところが、最大の要点
（第4章末尾のコラムを参照）であり
ここに数百ページ（以前のものを合わせると千ページ）に達する
省20
15(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:13 ID:W0WIc7wX(9/18) AAS
>>14
つづき
なかなか、良い本です。でも、今の数学科２年生ではきついかもね
さて、”「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成する”は、下記の北大 中村 郁先生、ご参照
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
中村 郁のホームページです．北海道大学
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
省25
16(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(10/18) AAS
>>15
つづき
定理 1 (小平-Nirenberg-Spencer1958/p.910) M をコンパク
トな複素多様体とし，H2(ΘM)=0 と仮定する。このとき，
N 個の parameter t1，・・・，tN に依存したコンパクトな複素
多様体の族 {M(t1, ・・・ , tN )} が存在して，どんな M の微少変
形も {M(t1 ・・・tN )} のなかに同型なものがある。ただし，N
省19
17(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(11/18) AAS
>>16
つづき
3 写像の変形理論
正標数でも同様の理論を作り，埋め込みの写像 π : S →
M の変形を考えることで，応用が増えます。実際，森重文
(1979/1982) はまず，M が Fano 多様体 (P2 を高次元へ拡張
したもの) のとき，かってにとった曲線をもとに，正標数特
省20
18(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(12/18) AAS
>>17
つづき
5 Donaldson 理論
ここで，Donaldson 理論についてほんのすこしだけ説明し
ます。簡単のため，X を単連結な実 4 次元可微分多様体，MX
を X に付随したある空間の反自己双対接続 (一般化された微
分，これをインスタントンと呼ぶ) のモジュライ空間としま
省19
19(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:15 ID:W0WIc7wX(13/18) AAS
>>18
つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
モジュライと変形理論, 数学の楽しみ, no.20, 2000年８月 (PDF FILE)
P17
小平-Spencer の変形理論とは何か？ 3 次曲線の場合に考えてみる。まず 3
次曲線をひとつとる:
省24
20: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:15 ID:W0WIc7wX(14/18) AAS
>>19
つづき
小平-Spencer の理論がモジュライ理論の基礎というばかりでなく、
小平Spencer の理論の底にある考え方は、現在幅広い応用を示しつつある。
それはすでに数学の基本的な考察手段となった感がある。例えば、群や代数の表
現の変形は、数論、数理物理など、今後いろいろな分野で注目されていくで
あろうが、これは小平-Spencer の理論にはなかったものである。という以上
省11
21(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:32 ID:W0WIc7wX(15/18) AAS
>>7
>・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv
(Note that each label class of cusps consists of two cusps).
LabCusp 補足
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
P82
省11
22(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:32 ID:W0WIc7wX(16/18) AAS
>>21
つづき
また, (c) の多輻的な表示は, その “加法的 Hodge 劇場” による加法的対称性を用い
たラベルの管理を破壊してしまわないようなラベルの管理のもとで実現されなければなり
ません. その上, “加法的 Hodge 劇場” に現れる大域的な対称性と多輻的に表示されるべ
き (c) の非両立性に, ラベルの管理を対応させなければなりません. (§21 の議論を参照.)
LabCuspK〜= F×l/{±1} という集合は, テータ関数の非単数的特殊値に対する自然なラベ
省9
23(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:33 ID:W0WIc7wX(17/18) AAS
>>22
つづき
加法的/幾何学的な対称性をもとに構成された “加法的 Hodge 劇場” と, 乗法的/数論
的な対称性をもとに構成された “乗法的 Hodge 劇場” を (対称性の出自の観点からは “非
従来的な形” で) 貼り合わせることで得られる概念が, D-Θ±ellNF Hodge 劇場や Θ±ellNF
Hodge 劇場です. (§26 の議論を参照.) そして, 2 つの Θ±ellNF Hodge 劇場を対数リンク
(§9 や §26 を参照) によって結び付けることで, ある単数的乗法的加群を, (a) というコン
省16
24: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:33 ID:W0WIc7wX(18/18) AAS
>>23
つづき
最初にこの宇宙際 Teichm¨uller 理論を勉強したときに筆者が持った印象は, “このよ
うな議論が許されるならば, 何でもやりたい放題ではないか” という方向性のものでした.
しかしながら, 更に勉強を進めたり, あるいは, 類似的な議論を模索していく内に, 理論に
対する印象は, “理論における様々な対象の構成は, もう少しで崩れてしまいそうな辛うじ
て保たれている均衡の上に成り立っており, そう簡単にはこの理論の真似はできない” と
省14
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