IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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637: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/30(金) 17:22:53.69 ID:ANa+nMVb

>>629 追加
> ６．つまりは、p > 5で a^p+b^p=c^p→ 楕円曲線 y2=x(x-a^p)(x+b^p) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε予想→フェルマーの最終定理解決
>　という流れだったのです

（>>363より再録）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf
整数論の最前線
楕円曲線の数論幾何
フェルマーの最終定理，谷山-志村予想，佐藤-テイト予想，そして・・・
伊藤 哲史 京都大学理学部数学教室 ガロア祭 2007年5月25日
(抜粋)
楕円曲線とは，3次式
y2 = x3 + ax + b (4a3 + 27b2 ≠ 0)
で定義された曲線のこと

モーデルの定理 (モーデル・ヴェイユの定理)
E : y2 = x3 + ax + bを楕円曲線とする．
このとき，有限個の有理点P1, P2, . . . , Pnが存在して，
Eの全ての有理点をP1, P2, . . . , Pnから作ることができる．
P1, P2, . . . , Pn を生成系という．
Q1, Q2, . . . , Qr から，ねじれ点以外の有理点を全て作ることが
できるようなrの最小値を，Eの階数という．

谷山-志村予想 (谷山豊, 1950年代)
E : y2 = x3 + ax + bを楕円曲線とすると，
重さ2の保型形式 f(q) = Σn=1〜∞ bn q^n *)
が存在して，
ほとんどすべてのpに対して，ap(E) = bpが成り立つ
(引用者注：*) q展開)

リベット :
谷山-志村予想が正しければ，フェルマーの最終定理も正しい．

ここまでのまとめ :
・楕円曲線E : y2 = x3 + ax + bの有理点は，有限個かもしれないし，無限個かもしれない．
・有限個の有理点P1, . . . , Pnをうまく選べば，Eの有理点を全て作ることができる．(モーデルの定理)
・ap(E) = p -(y2 - (x3 + ax + b)がpで割り切れる(x, y)の個数)とおくと，-2√p ≦ ap(E) ≦ 2√p．(ハッセの定理)
・ap(E)は重さ2の保型形式のFourier係数と一致する．(谷山-志村予想)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/637

638: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/10/30(金) 18:17:27.89 ID:ANa+nMVb

>>629 参考追加
> １．これを、IUTについて見るに
>　p = 1で a + b = c → 楕円曲線 y2=x(x-a)(x+b) →谷山・志村予想（モジュラリティ定理（ｑ展開））＋ε'予想→スピロ予想解決
>　となる。そういう流れではないかと（＾＾
> ２．で、”ε'予想＝IUT1〜4” なのです

”ｑ(=e^2πiτv)展開”は、IUTの論文内部では、”q-parameter” 又は、”q パラメータ” と称するようですね（下記）（＾＾

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
The Mathematics of Mutually Alien Copies: from Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmuller Theory. PDF NEW !! (2020-04-04)
P3
“elliptic curve” whose q-parameters are the N-th powers “q^N ” of the
q-parameters “q” of the given elliptic curve is roughly equal to the height of the
given elliptic curve, i.e., that, at least from the point of view of [global] heights,
q^N “≒” q
[cf. §2.3, §2.4].

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
星裕一の論文 宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019)
P81
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
P92
Ev の q パラメータ (良い還元を持つ有限素点や無限素点では 1) とし
ます. すると, この q パラメータの集まり
略
は F 上の数論的直線束
略
を定める (つまり, L は “qE^-1 から定まる数論的因子に付随する数論的直線束”)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2019Jul5.pdf
山下剛サーベイA proof of the abc conjecture after Mochizuki.preprint. Go Yamashita last updated on 8/July/2019
P27
(4) l is a prime number l ≧ 5 such that l is prime
略
the q-parameters of EF
P39
where E has bad reduction with q-parameter qE,v
略
where qE,v = e^2πiτv and τv is in the upper half plane.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/638

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