IUTを読むための用語集資料集スレ

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779: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 10:40:22.70 ID:4jX6N+0z

>>765
若干スレチだが、行きがかり上
Zermeloのシングルトン構成によるω（＝最小極限順序数（可算無限相当））を考えるに
基礎論としては、ちょっと裏技だが、有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）を使って幾何的にかんがえるのが分り易いと思う

１．要するに、Zermeloのシングルトン構成によるωは、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・” ってことで、タマネギのように芯があって皮が多重になっているよう
　その皮が可算無限重だってことだね
２．これを多重同心円として考える
　このとき、nの逆数1/nを考えて
　1,2,3.・・,n,・・→1/1,1/2,1/3,・・,1/n,・・
　という対応で考えるのが見やすい

３．デカルト平面（x,y）で、原点0を中心とする半径rの円、x^2+y^2=r^2
　ここで、r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ という数列を考える
　lim n→∞ 1-1/n＝1 （∵ lim n→∞ 1/n＝0 ）
４．r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・の円は、原点0を中心とする半径rの（可算）無限に重なった同心円
　これで、1,2,3.・・,n,・・で、2以降に対応する円が出来た。1に相当する円を、0〜1/2の間に一つ作る。例えば、r=1/4とでもしておく

５．こうして出来た（可算）無限の多重同心円は、内側から1,2,3.・・,n,・・と全ての自然数と対応が付く
６．ここで、各円の北極と南極に切れ目を入れて、左半円と右半円に分ける
　分けた左半円を、位相的に変形して”{”、右半円を、同様に変形して”}”とすると
　あ〜ら不思議、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”のできあがりぃ〜！（＾＾

基礎論として、裏技なのは、
最初はgoo!（グー） ならぬ、空集合と公理しか使えないのに、
”有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）、円の方程式”だと？、それ使えないよね？

けど、こう考えたら、別に”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”の存在って、なんら数学として矛盾していないって分かる
なんら数学として矛盾していない存在って、存在するって認めた方が便利なこと多いんだ、数学ではいつものこと
現代数学の抽象的な数学概念って、みんなこんなもの

クロネッカーは言いました！　自然数以外は、人が勝手にかんがえたものだぁ〜！
でも21世紀の数学では、「クロネッカーさん、あんたの考え古いな〜！」（＾＾
これが分からないと、IUTムリ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/779

781: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 11:13:41.99 ID:4jX6N+0z

>>779

追加ご参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_number
Transfinite number

Definition
Any finite number can be used in at least two ways: as an ordinal and as a cardinal. Cardinal numbers specify the size of sets (e.g., a bag of five marbles), whereas ordinal numbers specify the order of a member within an ordered set[5] (e.g., "the third man from the left" or "the twenty-seventh day of January"). When extended to transfinite numbers, these two concepts become distinct. A transfinite cardinal number is used to describe the size of an infinitely large set,[3] while a transfinite ordinal is used to describe the location within an infinitely large set that is ordered.[5] The most notable ordinal and cardinal numbers are, respectively:

・ω(Omega): the lowest transfinite ordinal number. It is also the order type of the natural numbers under their usual linear ordering.
・アレフ_0 (Aleph-naught): the first transfinite cardinal number. It is also the cardinality of the infinite set of the natural numbers. If the axiom of choice holds, the next higher cardinal number is aleph-one, アレフ_1. If not, there may be other cardinals which are incomparable with aleph-one and larger than aleph-naught. Either way, there are no cardinals between aleph-naught and aleph-one.

The continuum hypothesis is the proposition that there are no intermediate cardinal numbers between アレフ_0 and the cardinality of the continuum (the cardinality of the set of real numbers):[3] or equivalently that アレフ_1 is the cardinality of the set of real numbers. In Zermelo-Fraenkel set theory, neither the continuum hypothesis nor its negation can be proven without violating consistency.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/781

785: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 13:42:41.38 ID:4jX6N+0z

>>784
>{{},{{}},{{{}}},…}（要素が無限個）は基礎の公理を満たします

そっから、ずっこけているのか？
そう言えば、思い出してきたけど、
おぬしと同じ議論を、ガロアスレとかで以前もしたよね（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。  ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である  x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx=xのような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/under.html
学群関係 Akito Tsuboi's Home Page  坪井明人
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ  坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9

https://amonphys.web.fc2.com/
あもんノート 　〜理論物理学のまとめ〜
https://amonphys.web.fc2.com/amonfm.pdf
あもんノート
目 次
第 21 章 数学基礎論入門
21.12 正則性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . 14

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/785

786: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 13:45:15.27 ID:4jX6N+0z

>>785
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
(引用終り)

ここで、ノイマン構成では
集合として（自然数nを集合と見て）、無限の上昇列ができる
0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n・・・N(最後は、∈の連鎖としての極限で、自然数の集合Nが存在するってこと)
この∈の上昇列は、有限長ではないことは自明だよ
これを逆に辿れば、無限の降下列になるが、正則性公理に反するものではないことは自明
（そもそも、無限の上昇列を禁止したらおかしいぜｗ）

つまり、正則性公理の禁止しているの無限降下列
x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・
であって、底抜けの無限降下列だよ

一方、ノイマン構成の場合は、ある集合から作った上昇列だから、それを逆に辿れば、必ずそのような場合は降下列の底があるよ
だから、それは正則性公理には、反しないよ
それは、Zermeloのシングルトン構成によるωも全く同じことだ
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/786

790: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/07(土) 22:09:26.00 ID:4jX6N+0z

>>789

維新さん、さー、前から思っているけど、
あんたの数学の理解って、”数学記号の暗記レベル”で止まっていて、
理解浅いと思うんだよね

>0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n∈N
>この列・・・有限です
>もちろん、いくらでも長い上昇列はつくれますが・・・どれも有限です
>要するに、これがポイント

あのー、それじゃ、添字集合に無限集合たる自然数N使えないじゃん
で、無限列のコーシー列が、有限列になるぜよ
実数の構成（下記）どうすんの？

例えば、円周率 π = 3.14159・・・
これ、有限桁で打ち切れば、πの近似値だよ
小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、π1,π2,・・,πn,・・→∞でπ∞＝π
これ一つのコーシー列の例であって、πは超越数だから、n→∞ に出来ないのはおかしいぜｗ

あんたＩＵＴ無理

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%BB%E5%AD%97%E9%9B%86%E5%90%88
添字集合
添字集合（index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
多くの場合、添字は添字記法と呼ばれる、典型的には記号の上方や下方に置かれ、本文に用いられる文字よりやや小さな文字や数字を用いる記法に従って書かれる。添字が、上方に置かれるとき上付き添字（うえつきそえじ、superscript）、下方に置かれるとき下付き添字（したつきそえじ、subscript）と呼ばれる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
コーシー数列
無限数列 (xn) について
im _n,m→∞ |xn-xm|=0
が成立するとき、数列 (xn) はコーシー的である、コーシー性を持つ、あるいはコーシ−列であるという。有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。

実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
円周率とは、円の円周の長さの、円の直径に対する比率のこと[1]
小数点以下35桁までの値は次の通りである。
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/790

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