IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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67: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/01(水) 07:34:57.77 ID:ccoy8kKe

星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
(抜粋)
P177
§ 27. まとめ
最後に, 本稿で行われた議論を, 後半で説明した “Hodge 劇場の構成” の観点からまとめて, 本稿を終えましょう:
・ ある Diophantus 幾何学的定理 (§4 の冒頭で述べた主張を参照) を証明するためには,
(a) 対数殻
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
(c) 数体
という 3 つの対象の (ある適切な設定における) 多輻的な表示 の存在を証明すれば充分である.
(§4 から §8 の議論や §12 の議論の一部を参照.)
・ (b) と (c) の多輻的な表示を得るためには, 正則構造から単解構造への移行によって生じる不定性から,
(b) と (c) を防護/隔離しなければならない.
そのために, (b) と (c)を, “ただの数” としてではなく “ある適切な関数の特殊値” として扱う.
そのような関数として, (b) に対してテータ関数, (c) に対して “ｋ 系関数” が用いられる.
(§11 の議論を参照.)
・ テータ関数に代入するべき点たちの内, 我々の議論において重要となるものは,
LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベル付けされる. j ∈ Fl に対して, j でラ
ベル付けされた点でのテータ関数の値は　− Fl = {−l＊, . . . , 0, . . . , l＊} という自然な
同一視のもと　− “μ2l・ qj2/2l” の元となる. (§13 や §18 や §19 の議論を参照.)
・ 上述の各 j ∈ Fl での特殊値に関する考察から, F×l = Fl \ {0} でラベル付けされ
た点での特殊値によって (b) が得られ, そして, 0 ∈ Fl でラベル付けされた点での代入に
よってある単数的加群 “O×μv” が得られることがわかる. この単数的加群は, 後に, 対数写
像 “O×μv〜→ (Fv)+” を通じて, (b) (や (c)) に対する適切な “入れ物” としての (a) となる.
(§19 や §20 の議論や §8 や §9 の議論の一部を参照.)
・ 考察しなければならない様々な局所的な状況におけるテータ関数の特殊値や代入
点を大域的に管理するために, 局所的な設定と大域的な設定とを関連付けなければならない.
(§19 の議論を参照.)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/67

139: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/14(火) 21:21:14.77 ID:vq8RyVMN

>>131
追加
”導手”とは？

http://www.comp.tmu.ac.jp/s-yokoyama/lectures/2015-2018/files/2014Yamagata.pdf
山形大学理学部数理科学科 2014 年度後期「数理情報特選 F/数理科学特別講義 E」講義資料 1
計算する立場からの楕円曲線論入門
The arithmetic of elliptic curves from a viewpoint of computation
横山 俊一1（Shun’ichi Yokoyama）
九州大学大学院 数理学研究院 / JST CREST

定義 2.33. Ep が Fp 上の楕円曲線となる（i.e. Δ(Ep) ≠ 0）時, E は p で良い還元を持つ（has good
reduction at p）と呼ぶ. 逆に Ep に特異点が出現し, Fp 上の楕円曲線でなくなる（i.e. Δ(Ep) = 0）
時, E は p で悪い還元を持つ（has bad reduction at p）と呼ぶ.

補足 2.34. 上の状況で, それぞれの p を「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）と呼ぶ事
もある. Δ(E) の素因子のリストは, 悪い素数のリストに一致する.
更に, 悪い還元の時には Ep に特異点が出現するが, その特異点には 2 種類あった事を思い出そう
（命題 2.8 及びその直前の文脈. c4 が 0 か否かでノード型かカスプ型に分かれるのであった）. その
ため, 悪い還元を更に 2 つに分類する.

定義 2.35. E が p で悪い還元を持つとする. Ep がノード型の特異点を持つ時, E は p で乗法的（半
安定）還元を持つ（has multiplicative (semistable) reduction at p）と呼ぶ. Ep がカスプ型の特異点
を持つ時, E は p で加法的（不安定）還元を持つ（has additive (unstable) reduction at p）と呼ぶ.

これを用いて導手を定義する. 判別式が「悪い素数のリスト」を与えていたのに対し, 導手は「悪
い素数のリスト＋還元の様子」を与えており, しかも不変量となる.

定義 2.36. E を Q 上の楕円曲線とする. この時
N(E) = Πp : prime p^fp(E)
を E の導手（conductor）と呼ぶ. E ＝〜 E′ なら N(E) = N(E′) である. fp(E) は次で定める：
・ E が p で良い還元を持つ時 fp(E) = 0,
・ E が p で乗法的還元を持つ時 fp(E) = 1,
・ E が p で加法的還元を持つ時 fp(E) = 2 + δp.
δp は depth of wild ramification と呼ばれる 0 以上の整数で, 特に p ≠ 2, 3 ならば δp = 0 である.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/139

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