IUTを読むための用語集資料集スレ

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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98: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/12(日) 07:45:19.14 ID:/6i4k5qr

判別式
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/
HiroshiのHomePage
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/index_HSR.htm
博想録 目次
(関係ないが付録 http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/05_galois.pdf 5 ガロア
　http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/26_galois_hosoku.pdf ２６ ガロア補足)

http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/43_fermat.pdf
４３ フェルマーの最終定理
(抜粋)
1955年９月、日光で開催された代数論的整数論の国際シンポジウム
で、谷山豊は１つのアイデアを提示した。
『すべての楕円曲線はモジュラーである』
という、当時誰も思いつかなかった突拍子もない予想である。数学の言葉で正確に言えば「有理数体の
楕円曲線のゼータ関数は、上半平面上の重み 2 のある保型形式のゼータ関数である」ということになる

“保型形式”とは、一定の変数変換で不変な性質を持つ、複素数を変数とする関数のことで、楕円曲
線の中で保型形式によって表されるものをモジュラー楕円曲線といい、全ての楕円曲線はモジュラー楕
円曲線であるというのが谷山・志村予想である。

「有理数体の楕円曲線のゼータ関数は、上半平面上の重み 2 のある保型形式のゼータ関数である」が
突拍子もないとはどういうことなのか？
そもそも「楕円曲線のゼータ関数」とは、飛び飛びの数（離散数）を扱う整数論の世界から導かれる
ゼータ関数なのであるが、それが無限級数，微積分や連続した数（連続数）を扱う解析学の世界から導
かれる「保型形式のゼータ関数」に一致することを予想したものだからである。
この谷山・志村予想は２，００１年には完全に証明されたが、最初は全く異なる分野が地下水脈で繋
がっていたというような驚くべきものだったのである。

（この後の楕円曲線の話が、分り易いが略す。興味のある方は、原文をご参照）

ａ^n＋ｂ^n＝ｃ^n となる。
ここで、次のような楕円曲線に着目する。
y^2＝x(x−a^n)(x＋b^n)・・・?
この曲線をフライに敬意を表してフライ曲線と呼んでいる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/98

280: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/29(水) 10:39:42.14 ID:ruijdO0n

現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 より転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/42-43

https://arxiv.org/pdf/1212.5740.pdf
Filters and Ultrafilters in Real Analysis 2012
Max Garcia Mathematics Department California Polytechnic State University

Abstract
We study free filters and their maximal extensions on the set of natural numbers.
We characterize the limit of a sequence of real numbers in terms of the Fr´echet filter, which involves only one quantifier as opposed to the three non-commuting quantifiers in the usual definition.
We construct the field of real non-standard numbers and study their properties.
We characterize the limit of a sequence of real numbers in terms of non-standard numbers which only requires a single quantifier as well.
We are trying to make the point that the involvement of filters and/or non-standard numbers leads to a reduction in the number of quantifiers and hence, simplification, compared to the more traditional ε, δ-definition of limits in real analysis.

Contents
Introduction . . 1
1 Filters, Free Filters and Ultrafilters 3
1.1 Filters and Ultrafilters . . .. 3
1.2 Existence of Free Ultrafilters . . . . . . 5
1.3 Characterization of the Ultrafilter . . . . . . 6
2 The Fr´echet Filter in Real Analysis 8
2.1 Fr´echet Filter . . . . . . . . . 8
2.2 Reduction in the Number of Quantifiers . . .. . . 10
2.3 Fr´echet filter in Real Analysis . . . . . . . 11
2.4 Remarks Regarding the Fr´echet Filter . . . . . 12
3 Non-standard Analysis 14
3.1 Construction of the Hyperreals *R . . . . . 14
3.2 Finite, Infinitesimal, and Infinitely Large Numbers . . . . . . . 16
3.3 Extending Sets and Functions in *R . . . . . . . . . . . . . . . 20
略
A The Free Ultrafilter as an Additive Measure 25

これは、 フレシェ・フィルターなどを使う”non-standard numbers”、いわゆる超準解析についての論文ですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/280

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