IUTを読むための用語集資料集スレ

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843: １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/10(火) 20:37:47 ID:neBqQ1Mo

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http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/843

850: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/23(月) 19:44:26 ID:EWXzW0g+

>>849
ふーん
下記か（＾＾

アマゾン
楕円関数論 増補新装版: 楕円曲線の解析学 (日本語) 単行本 ? 2020/5/27
梅村 浩 (著)

楕円関数論―楕円曲線の解析学 (日本語) 単行本 ? 2000/7/1
梅村 浩  (著)
東京大学出版会; 増補新装版 (2020/5/27)

（旧版）
上位レビュー、対象国： 日本
susumukuni
VINEメンバー
5つ星のうち5.0 楕円関数論の素晴らしい入門書
2004年6月19日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
19世紀数学の華である楕円関数論の従来の教科書・解説書では、2重周期を持つ（即ち、複素トーラス上の）解析関数という観点から、楕円関数の解析的な面が主に扱われており、種数1の代数曲線（即ち、楕円曲線）という代数幾何学的対象の超越的（複素解析的）な面に詳しいものは少なかった。本書は、この「楕円曲線の解析学」として、楕円関数論を論ずる本格的な入門書で、この理論に興味を持つすべての方にお薦めできる好著である。

本書の大きな特徴として、以下の3点を挙げることができる。先ず、楕円関数の理論が、計算を含めて非常に詳しく丁寧に解説されていること。次に、Jacobiの楕円関数とその周期や加法公式などが、テータ関数を経由して巧みに導かれており、「テータ関数」の理論のステキな入門書になっていること。最後に、楕円関数の応用として、算術幾何平均と楕円積分の周期との相互関係、及び楕円関数と5次方程式の解法との関連、などの興味深い話題が詳しく解説されていることである。

私見ではあるが、本書のハイライトは、テータ関数に関する「Riemannのテータ関係式」と「Jacobiの変換公式」、及び4.7節に述べられている楕円積分の周期の解説にあると思う。特に、4.7節に述べられている楕円積分のモジュラスkでの微分計算、及び4つの楕円積分の間に成立する「Legendreの関係式」の証明はまことに素晴らしく、間違いなく本書の一つの頂点に位置すると思う。

本書の平易で丁寧な記述は、この理論を初めて学ばれる方でも、そのかなり高度な内容をフォローする事を可能にしている。平易な記述ながら豊富で充実した内容という両立が難しい要求を見事に満たしている本書は、楕円関数論の現代の名著と言うに相応しい。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/850

851: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/23(月) 19:51:36 ID:EWXzW0g+

最近のだと、下記もある
数学科学生だと、大学図書にあるかも。無ければ、リクエストして買わせろ

アマゾン
楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方 (日本語) 単行本 ? 2019/9/25 武部 尚志 (著)日本評論社

【目次】
第0章 イントロ ーー楕円積分と楕円関数の国の俯瞰図
第1章 曲線の弧長 ーー楕円積分への入り口
第2章 楕円積分の分類 ーー道案内板
第3章 楕円積分の応用 ーー旧跡と名所
第4章 ヤコビの楕円関数 ーー天の橋立の股覗き
第5章 ヤコビの楕円関数の応用 ーー路地裏に遊ぶ
第6章 代数関数のリーマン面入門(1)ーー帰って来ても戻っていない
第7章 代数関数のリーマン面入門(2)ーー世界は丸い
第8章 楕円曲線 ーー限りある世界
第9章 複素楕円積分 ーー道案内版を見直す
第10章 上半平面と長方形の対応 ーー鏡の国を通り抜け
第11章 アーベル-ヤコビの定理(1)ーー楕円曲線の住人たち
第12章 アーベル・ヤコビの定理(2)ーー楕円曲線の地図を作ろう
第13章 楕円関数の一般論 ーー定番周遊コース
第14章 ワイエルシュトラスのP関数ーー楕円関数の国の名士
第15章 加法定理 ーー楕円関数の民族性
第16章 加法定理による特徴付けーー楕円関数の国の旗印
第17章 テータ関数(1) ーーねじれた平原
第18章 テータ関数(2) ーー四人で行進
第19章 テータ関数の無限積展開 ーー隣の国へ向かう橋
第20章 ヤコビの楕円関数(複素数版)ーーガイドブックの終わりは旅の始まり

上位レビュー、対象国： 日本
独語学習者
5つ星のうち5.0 中身は本格派です。
2020年11月1日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
タイトルは読み物みたいなタイトルですけれどとんでもないです。
中身は完全に数学書で簡単でもありません。
序盤は割とゆっくりな導入ですが、後半はかなり難解で展開も駆け足となります。
まだまだ序盤で苦戦している途中ですが、戸田先生の楕円関数入門と補完しながら読むと読みやすいと思いました。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/851

866: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/24(火) 11:38:35 ID:sjY1r69O

>>864
因みに
森 重文先生

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%AE%E9%87%8D%E6%96%87
森 重文（1951年（昭和26年）2月23日[1] - ）
人物・逸話
・学生時代、指導教授からある数学書を薦められると1〜2ヶ月ほどで「読みました」と戻って来てしまい、次の数学書を薦められてはまた同じことを繰り返した。「数学書を読むのが異常に速い」学生として強烈な印象を与えていたという。

http://math00ture.blog.jp/archives/37419350.html
つれづれなるままの数学（算数）素数GPSの周辺　iPhoneとAndroid 366 aps
数学「感覚や感情養うのが大事」　フィールズ賞の森氏講演 ２０１９年５月２０日

森重文・京都大高等研究院長（68）が19日、新潟市で講演した。約400人の参加者を前に、数学について「論理だけでは解けない場面がある。先へ進むには日ごろからさまざまなものを見聞きして、人間としての感覚や感情を養うことが大事だ」と語り掛けた。
「数学を知らないで生きていける世の中ではない」と指摘した上で、「全てを理解しなくてもいい。興味の持ち方をうまく見つけてほしい」と述べた。

得意分野伸ばそう　フィールズ賞受賞の森さん、新潟で講演
数学のノーベル賞といわれるフィールズ賞を１９９０年に受賞した京都大学高等研究院院長の森重文さんが１９日、新潟市中央区で高校生向けに講演した。森さんは子供の時に多くの欠点を抱えていたとし、「皆さんも得意不得意があると思うが、欠点も個性。得意なことを伸ばした方がいい」と勧めた。
森さんは自身の小学生時代を「人前に出るのが苦痛で無気力。勉強はあまりできなかった」と振り返った。中学生の頃は苦手科目を無くすよう指導されたが、うまくいかなかったという。
高校で数学の魅力に目覚め、「数学が絡むと妙に積極的になり、同好会をつくったりした」。これまでの人生を振り返り「いつも順調だったわけではないが、高校時代に数学という目標を見つけたので乗り越えてこられた」と語った。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/866

875: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/25(水) 06:54:36 ID:VlvJJ1mh

>>867
(引用開始)
「数学のたのしみ」で、森重文氏 の回想録が出ていた。
土井公二先生のところに入りびたり、
土井公二先生は、 将来代数をやるにはこの本を読めと、色々紹介されたという。１〜２ヵ月後読み終わりましたと土井公二先生を訪ね ると、また別の本を紹介される。そういう事が何回か繰り返された。
どういう本なのか土井公二先生に聞いたことがある。「数学者アンドレ・ヴェイユ（1906〜1998）が書いた「Bａｓｉｃ　Nｕｍｂｅｒ　Tｈｅｏｒｅｍ」や主著に三部作『代数幾何学の基礎』（1946 ）、『アーベル多様体と代数曲線』（1948）、『代数曲線とそれに関連する多様体』（1948 ）など、らしい。数学の専門書を１〜２ヵ月で読破するのはマトモではない！(定期試験のやっつけ勉強とは訳が違う。)回想録にも登場する某先生が他の所で書いていたが、学生時代の森氏に対しては「数学書を読むのが 異常に速いという印象を持った」そうである。この回想録には、他にも恐ろしい話が随所に見られるが詳細は省略する。
(引用終り)

<補足>
・「一を聞いて十を知る」という言葉がある。森重文先生は、そういう人だったのだろう
　そういう人っているんだよね、たまに。ガウスみたいな
　そういう人が、大体 ”数学科から数学研究者→アカデミックポスト”って人たちだろう
・で、そういう人は、数学の本を読むとき 数学のジグソーパズルの組立とばらしが、頭の中で早くできるのでしょね、想像ですが
　で、一つ二つのピース（部品） あるいは複数のピースを見ると、先が見える。ああ、こういう絵になりそうとか
　本全部でなくとも、この章はこういう絵柄だろうと、浮かぶ
・逆に、数学のデッサンのような絵が与えられれば、自分で既存の数学理論からピース（部品）を取り出したり、足りない部品は自分で考えて作ったりできる人
　森重文先生は、そういう人だったのだろう
　だから、数学の本を読んで、「ああ、この本はこういう絵なんだ」って分かれば、終り。絵があれば、自分でジグソーパズルの再構成ができる。本は無くても
　そういう人だったのだろう
・で、凡人も、やはり「この本はどういう絵になるのか？」と想像しながら読むのが良いと思う
　あるいは、先に後ろまで読んで、「こういう絵かな」というのを早く掴んで読むのが、良いんじゃね？
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/875

883: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/25(水) 23:18:55 ID:VlvJJ1mh

>>882
つづき

Γ0(11) のときはネットを探して正解の図形を見つけたので、それを見ながら代表元を探すことができましたが、今回は正解も見つかりません。

そんなわけで、この問題は実は２年ぐらい前からずっと悩んでいまして、半ば諦めていたのですが・・・。

つい先日、方法を見つけました。

参考：
sagemath - Drawing fundamental domains with sage - Mathematics Stack Exchange
https://math.stackexchange.com/questions/1900817/drawing-fundamental-domains-with-sage
sagemathというソフトで、合同部分群に関する基本領域を描画する機能があるというのです。sagemathすごい！

それでは、以下のコマンドを実行してみましょう。
なんと、一発で Γ1(11) の基本領域が描画されます。

ぴったり Y1(N) の点と対応させるためには、楕円曲線の同型類では、少々おおざっぱすぎることがわかります。そこで、同型の取り方をもう少し細かくしよう という発想が出てきます。それが、レベル構造付き楕円曲線 のアイデアです。

5. おわりに
今回は、レベル構造付き楕円曲線について解説しました。楕円曲線に、N 等分点という構造を加えて同型写像を考えることで、単なる楕円曲線としての同型類より細かい分類を作ることができるのでした。

このアイデアにより、モジュラー曲線 Y1(N) とレベル構造付き楕円曲線の同型類 S1(N) の間に全単射が得られました。

モジュラー曲線シリーズの記事は、当初は第３回で終わりの予定でしたが、もう少し書きたいことが残っています。今のところの予定では、あと２、３回程度は続くはずなので、よろしければ引き続きご覧になってください。

それでは、今日はこの辺で。

参考文献
Y1(11) を計算したいと思ったきっかけは、次の本の６章の三枝先生の記事を読んだことでした。

数学の現在 i
作者: 斎藤毅,河東泰之,小林俊行
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 2016/05/28

A First Course in Modular Forms (Graduate Texts in Mathematics)
作者: Fred Diamond,JERRY MICHAEL SHURMAN
出版社/メーカー: Springer
発売日: 2016/10/12
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/883

905: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/11/28(土) 09:58:34 ID:OgYXcJu7

>>904
(引用開始)
>無限列が２列できる
>　1,　 2，・・,　 n,・・,　 ∞
無限列に最後の項はありません、あったら無限列であることと矛盾します
(引用終り)

・小学生：無限遠点がある？ それって、無限に限りがあるから、矛盾
・数学者：無限遠点を考える方がすっきりするよ。ＺＦＣでは無矛盾だよ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%81%A0%E7%82%B9
無限遠点（むげんえんてん、point at infinity）とは、限りなく遠いところ（無限遠）にある点のことである。日常的な意味の空間を考えている限り無限遠点は仮想的な概念でしかないが、無限遠点を実在の点とみなせるように空間概念を一般化することができる。そのようにすることで理論的な見通しが立てやすくなったり、空間概念の応用の幅が拡がったりする。
(引用終り)

＞いつになったら無限は大きい有限ではないことを理解するのですか？

レーヴェンハイム?スコーレムの定理
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す
モデル理論
一階述語論理では、すべての無限濃度は可算である言語にとっては同じに見える
区別できないってことでしょ？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96
モデル理論
一階述語論理では、すべての無限濃度は可算である言語にとっては同じに見える。これはレーヴェンハイム-スコーレムの定理において次のように表現されている。略 全ての可算理論は、全ての文において{A}と一致する全ての無限濃度のモデルを持つ、すなわちそれらは'初等同値（英語版）'である
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/905

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