現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む74

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163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/04(日) 12:38:34.19 ID:wYXDzdNx

>>129 追加

ハメル基底（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
(抜粋)
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。
これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。

無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。
実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。・・を考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。

例
フーリエ級数論において
略
を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。
この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ）。
この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/163

240: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/06(火) 07:50:48.19 ID:/q1/+QCZ

つづき
公理主義
http://www.shayashi.jp/gendaishiso.html
公理主義、形式主義、証明論、構造主義 - 林晋
(抜粋)
4　ヒルベルトの公理論とはなんだったか?
ヒルベルトの著作を通して見ても、我々が現在、公理論、公理主 義という言葉のもとで了解する数学・数理科学のスタイルを見つけ ることは、実はそれほど容易ではない。幾何学基礎論以外には、そ ういう例を見つけることは難しい。

このように、現代の我々が「構造」として捉えるものをヒルベル トは「証明・論理」により捉えようとしたらしい。現代の我々にと って公理とは、集合論や圏論などの言語により、ブルバキ的な「集 団としての構造」を記述する条件であるが、ヒルベルトにとっては 公理はよりシンククティカルなものであった。

ヒルベルトが生涯、その影に悩まされたのは クロネッカーであった。そのクロネッカーは彼の代数理論を使うこ とにより解析学までも代数化・「算術化」することを企てた。スキ ーム理論のようなイメージを持っていた可能性もある。そのように して実数論を構築しようとすれば、クロネッカーの意図に反し無限 集合が必要となる。クロネッカーはそれを許さないので、逆に無理 数を捨てたのである。

集合論を新時代の数学の強力な武器とみなすヒルベルトにとって はクロネッカーの無理数の否認など論外であった。後で説明するよ うに、ヒルベルトは極めてクロネッカー的な世界である不変式論の おいて一集合論的方法がクロネッカー的な有限的方法を越える瞬間 を目撃したからである。
しかし、この不変式論という膨大な手計算 を必要とした極めてアルゴリズミックな代数理論において、そのキ ャリアを開始したヒルベルトは同時にクロネッカー的精神を自らの 手による計算を通して理解していた人物でもあったはずなのでけ る。クロネッカーが対象を有限に限ったところを、ヒルベルトは「無 限の対象の有限的記述形式」としての公理系を考えることにより、 「無限の有限化」を成し遂げようとした。
彼の公理論実数論はクロネ ッカーと同じ精神で、しかし、方法を代数に限らず、「言語、論理、 証明」による有限的公理化という別な方法によって有限的実数論を 構築する試みだったのである。
(引用終り)

http://www.shayashi.jp/vitae-jp.html
林晋
https://researchmap.jp/susumu_hayashi/
林晋

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/240

918: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/15(木) 15:05:16.19 ID:FaDqkhIK

>>856 補足
>自然数論・整数論（解析学を使用しない場合）・有理数論・代数的数論
>「無限集合」は必要ない

「初等整数論」ｗ（＾＾
・”初等整数論/公理 自然数の公理
　２．上に有界な自然数の部分集合には必ず最大の数が存在し、それは無限集合ではない”（＾＾；
・”ディリクレ（1837年）は、全ての適格な等差数列が素数を無限に含むことを証明した”ｗ
・”1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン、フィリップ・フルトヴェングラーらが類体論を創始”ｗｗ
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96
初等整数論
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数学>初等整数論
(抜粋)
ここでは、初等整数論 --- 数論の中でも初等的な領域に属する、素数や合同式に関する基本的な理論 --- について解説する。
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96/%E5%85%AC%E7%90%86
初等整数論/公理
(抜粋)
自然数の公理
１．自然数の部分集合には最小のものが存在する。
２．上に有界な自然数の部分集合には必ず最大の数が存在し、それは無限集合ではない。
３．自然数内で無限降下列は作れない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96
数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。
(抜粋)
近代数論の始まり
素数論

ディリクレ（1837年）は、全ての適格な等差数列が素数を無限に含むことを証明した。
チェビシェフ（1850年）は、素数の分布に関するチェビシェフの定理を証明した。
リーマンはリーマンゼータ関数の理論に複素解析を導入した。

20世紀
・1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン、フィリップ・フルトヴェングラーらが類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/918

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