Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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49(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:23 ID:PmfdHnoP(4/9) AAS
つづき

このようにして、ソロヴェイは、ZFC (ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理を加えたもの)からの非測定集合の存在の証明において、少なくともアクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提のもとで、選択公理が不可欠であることを示しました。

Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。

Construction
Solovay は、アクセス不可能な基数 κ を含む ZFC のモデルMから始めて、2 つのステップでモデルを構築しました。

最初のステップは、κ 未満のすべての基数を ω に縮約する強制の概念の一般集合Gを追加することにより、 Mのレヴィ縮約 M [ G ]をとることです。すると、 M [ G ] は、順序数の可算列上で定義可能なすべての実数集合がルベーグ可測であり、ベール集合の性質と完全集合の性質を持つという性質を持つ ZFC のモデルになります。(これには、すべての定義可能集合と射影的実数集合が含まれます。ただし、タルスキの定義不可能性定理に関連する理由により、定義可能な実数集合の概念は集合論の言語で定義できませんが、可算な順序数の可算列上で定義可能な実数集合の概念は定義できます。)
省3

50(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:24 ID:PmfdHnoP(5/9) AAS
つづき

Complements
ソロヴェイは論文の中で、非可算基数の使用は必ずしも必要ではないかもしれないと示唆した。
複数の研究者が、非可算基数の存在を仮定することなく、ソロヴェイの結果のより弱いバージョンを証明した。特に、クリヴィン（1969）は、すべての順序数定義可能な実数集合が可測となるZFCモデルが存在することを示し、ソロヴェイは、実数のすべての部分集合にルベーグ測度の並進不変拡張が存在するZF + DCモデルが存在することを示し、シェラ（1984）は、すべての実数集合がベール性を持つモデルが存在することを示した（したがって、この場合、非可算基数は実際には不要である）。

完全集合性の問題は、スペッカー（1957）によって解決されました。
彼は（ZFにおいて）すべての実数集合が完全集合性を持ち、最初の非可算基数ℵ 1 が正則基数である場合、ℵ 1 は構成可能宇宙においてアクセス不可能であることを示しました。ソロベイの結果と組み合わせると、「アクセス不可能基数が存在する」という命題と「ℵ 1 は正則基数である + すべての実数集合は完全集合性を持つ」という命題はZFにおいて等価であることが示されます。[ 1 ] p. 371

Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.

シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
(引用終り)
以上

51(1): 11/02(日)17:34 ID:kHsCJN3F(1/7) AAS
>>49
誤　アクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提
正　アクセス不可能な基数の存在が ZFC と整合する（つまりZFCの公理と矛盾しない）という前提

この程度の英語が正しく翻訳できないド素人が、ドヤ顔で数学板にコピペすんな

52(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:38 ID:PmfdHnoP(6/9) AAS
>>48-50 補足
(引用開始)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Solovay model
Statement
ZF はツェルメロ-フランケル集合論を表し、 DC は従属選択公理を表します。
ソロヴェイの定理は以下の通りである。到達不可能な基数の存在を仮定すると、適切な強制拡大V [ G ]の ZF + DC の内部モデルが存在し、任意の実数集合はルベーグ可測であり、完全集合性を持ち、ベール性を持つ。
Complements
Finally, Shelah (1984) showed that consistency of an inaccessible cardinal is also necessary for constructing a model in which all sets of reals are Lebesgue measurable. More precisely he showed that if every Σ13 set of reals is measurable then the first uncountable cardinal ℵ1 is inaccessible in the constructible universe, so that the condition about an inaccessible cardinal cannot be dropped from Solovay's theorem. Shelah also showed that the Σ13 condition is close to the best possible by constructing a model (without using an inaccessible cardinal) in which all Δ13 sets of reals are measurable. See Raisonnier (1984) and Stern (1985) and Miller (1989) for expositions of Shelah's result.
シェラとウッディン (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、 L ( R )内の実数のすべての集合（実数によって生成される構成可能集合）はルベーグ可測であり、ベール性を持つことを示した。これには、あらゆる「reasonably definable」実数集合が含まれる。後に、超コンパクト基数の使用は大幅に弱められ、無限個のウッディン基数と、それらすべてより上に可測基数を持つものだけになることが示された。
省12

53: 11/02(日)17:39 ID:kHsCJN3F(2/7) AAS
＞●●は、〇〇を扱うには余白が狭い by フェルマー

カラスの世田の脳味噌は、大学以降の数学を理解するには、量が少ない　by 数学板読者の総意

54: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)17:45 ID:PmfdHnoP(7/9) AAS
>>51
(引用開始)
誤　アクセス不可能な基数の存在が ZFC と一致するという前提
正　アクセス不可能な基数の存在が ZFC と整合する（つまりZFCの公理と矛盾しない）という前提
(引用終り)

赤ペン先生ありがとう
それ、機械翻訳ままな　（＾＾

原文を示しておくと
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In this way Solovay showed that in the proof of the existence of a non-measurable set from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory plus the axiom of choice), the axiom of choice is essential, at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC.
省6

55(1): 11/02(日)17:45 ID:kHsCJN3F(3/7) AAS
＞良い子は、これを覚えておこうね　
　数学は覚えるものではない
　理解もせずに覚えるのはバカのすること
　大学にはバカでも入れるが、
　大学の学問はバカには理解できない
　日本の大学はバカでも卒業してしまうし
　日本の企業はバカでも採用してしまうし
　バカでも定年まで勤められてしまう

　要するに会社員に大卒の知能はまったく必要ない（笑）
　カラスの世田がこのことを証明している
省1

56(1): 11/02(日)17:54 ID:kHsCJN3F(4/7) AAS
＞ここの
＞at least granted that the existence of an inaccessible cardinal is consistent with ZFC.
＞(google訳にかけると)
＞少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しないことは認められている。
＞と訳される

人間の修正なしに機械翻訳がそのまま使えると思うのはバカ

上記の場合
誤　少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しないことは認められている
正　少なくとも、到達不可能な基数の存在がZFCと矛盾しない、と認めた上で

In this way Solovay showed that in the proof of the existence of a non-measurable set from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory plus the axiom of choice),
省7

57(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:01 ID:PmfdHnoP(8/9) AAS
>>56
赤ペン先生ありがとう

”１．自動翻訳にかけた後、かならず元の英文と比較せよ
２．単語の訳で、数学において独自の訳が存在する場合は、必ず直せ（これ素人は絶対にできないので、理解してないと一発でバレる）”

良い指摘だな
その通りだよ

>>55
>　数学は覚えるものではない

間違っている
数学史3000年
省7

58: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:18 ID:PmfdHnoP(9/9) AAS
>>52 補足
(引用開始)
纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
　の存在ができる
2）一方
　到達不可能な基数の存在を仮定して、
　フルパワー選択公理→DC 従属選択公理に弱めると
　”任意の実数の部分集合が可測である Solovay model”の存在が証明できる
　（当然ながら、従属選択公理では非可測集合の存在は証明できない）
省18

59(1): 11/02(日)21:19 ID:kHsCJN3F(5/7) AAS
>>57
>>数学は覚えるものではない
>間違っている
カラスの世田こそ間違っている

学習は記憶ではない
カラスの世田は必死に公式を記憶して大学入試を突破したのだろうが
そのやり方が間違っていたから大学数学が全く理解できずに落第した

理論はただ闇雲に記憶するものではない　理解するものだ
闇雲な記憶と論理の理解が区別できない馬鹿が大学で落第する

60(1): 11/02(日)21:38 ID:kHsCJN3F(6/7) AAS
>もし、可算選択公理しか認めないならば
>もっと簡単に、
>”任意の実数の部分集合が可測である model”
>の存在が証明できるだろう
>（どうやれば良いかは知らないが）

できねぇわ　🐎🦌

なぜ「できない」と断言できるか？
可算選択公理を満たし
実数の部分集合で非可測なものが存在するmodel
が存在するから
省10

61(1): 11/02(日)21:39 ID:kHsCJN3F(7/7) AAS
>公理的集合論の外（素朴集合論）から見ると

公理的集合論の外の意味が全く不明だが（笑）

>実数Rの有理数Qによる同値類R/Qを考えることは可能であり

少なくとも有理数Ｑ全体の集合が存在し
有理数Ｑの部分集合の全体集合が存在する
と前提しないなら「可能」とは言えんな

>また、同値類R/Qの代表を考えることは可能である
省21

62(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/03(月)09:43 ID:RGcnI1b5(1/10) AAS
>>60
(引用開始)
>もし、可算選択公理しか認めないならば
>もっと簡単に、
>”任意の実数の部分集合が可測である model”
>の存在が証明できるだろう
>（どうやれば良いかは知らないが）
できねぇわ　🐎🦌
なぜ「できない」と断言できるか？
可算選択公理を満たし
省27

63(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/03(月)09:50 ID:RGcnI1b5(2/10) AAS
>>61
>>また、同値類R/Qの代表を考えることは可能である
>選択公理なしにそんなことは不可能だがな

あたま悪そうだな　；ｐ）
人は、ZFCの外で思考している（思考できる）
それに加えて、人の思考は一階述語論理に縛られない

だから、一階述語論理ZFに加えて「選択公理あったらいいね」が
考えられるんだよ
バカだな　（＾＾

64(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/03(月)10:09 ID:RGcnI1b5(3/10) AAS
>>59
>学習は記憶ではない
>カラスの世田は必死に公式を記憶して大学入試を突破したのだろうが
>そのやり方が間違っていたから大学数学が全く理解できずに落第した

真逆だよ
数学に王道なしを真に受けて廃人になりかけたわんこらさん(京大数学科)の実例がある（下記）

杉浦先生を弁護しておくが、「解析入門1」を書店でチラ見したが、そう難しいことは書かれていない
だが、冒頭で多分確認用に軽いノリで必要な集合論の知識をさらっと書いてあるんだ
だが、わんこらさんは ”数学に王道なしを真に受けて” この軽いノリの集合論の知識を
独学で理解しようとしたらしいね（高校卒業後の学部1年の最初に）
省33

65(1): 11/03(月)10:25 ID:2XITUXgJ(1/4) AAS
自分に合わないものを無理して続ける心理状態というものがある

66: 11/03(月)11:23 ID:nkvgQbyQ(1/7) AAS
まさにセタじゃん
数学は奴に合わないのになぜか数学板に居座り続けるセタ

67(1): 11/03(月)14:27 ID:zPwaMpUP(1) AAS
> 2）池上大祐の答えは「現状ではグロタンディーク宇宙は必要」
> 　ということだった
これはその人が言ったことですか？

68(1): 11/03(月)16:06 ID:u7vdmd1+(1/14) AAS
>>62
>Solovay model httpsの示すところは、
>ZF+従属選択公理+到達不能基数において
>「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」
>となるモデルの存在が示せるということだね

A）ZF+従属選択公理+到達不能基数を満たし
「実数のすべての(部分)集合はルベーグ測定可能」
となるモデルの存在が示せる、
と
B）ZF+従属選択公理+到達不能基数から
省26

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