[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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58: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/02(日)21:18 ID:PmfdHnoP(9/9) AAS
>>52 補足
(引用開始)
纏めると
1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set
の存在ができる
2）一方
到達不可能な基数の存在を仮定して、
フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると
”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる
（当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない）
かように
採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです （＾＾
良い子は、これを覚えておこうね （＾＾
(引用終り)
さらに補足する
1）もし、可算選択公理しか認めないならば
もっと簡単に、”任意の実数の部分集合が 可測である model”の存在が証明できるだろう
（どうやれば良いかは知らないが ；ｐ）
2）公理的集合論の外（素朴集合論）から見ると
i)実数Rの有理数Qによる同値類R/Qを考えることは可能であり
ii)また、同値類R/Qの代表を考えることは可能である
iii)よって、>>48のように 同値類R/Qの代表について Vitali set を区間[0,1]内にとり
それが 非可測であることを示すことができる
そのときの問題は、同値類R/Qの代表を集合として考えるときに、
実は”フルパワー選択公理”を使ってしまっていることだ
3）従って、フルパワー選択公理、従属選択公理、可算選択公理の別に従って
できる モデルが異なるってことだね
これは、良い子は 覚えておこうね （＾＾
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