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Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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58
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現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2025/11/02(日)21:18
ID:PmfdHnoP(9/9)
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58: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/11/02(日) 21:18:56.25 ID:PmfdHnoP >>52 補足 (引用開始) 纏めると 1）フルパワー選択公理を認めると、ルベーグ非可測な実数集合 Vitali set の存在ができる 2）一方 到達不可能な基数の存在を仮定して、 フルパワー選択公理→DC 従属選択公理 に弱めると ”任意の実数の部分集合が 可測である Solovay model”の存在が証明できる （当然ながら、従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない） かように 採用する”選択公理”の強度によって、証明可能な集合に差が生じるのです （＾＾ 良い子は、これを覚えておこうね （＾＾ (引用終り) さらに補足する 1）もし、可算選択公理しか認めないならば もっと簡単に、”任意の実数の部分集合が 可測である model”の存在が証明できるだろう （どうやれば良いかは知らないが ；ｐ） 2）公理的集合論の外（素朴集合論）から見ると i)実数Rの有理数Qによる同値類R/Qを考えることは可能であり ii)また、同値類R/Qの代表を考えることは可能である iii)よって、>>48のように 同値類R/Qの代表について Vitali set を区間[0,1]内にとり それが 非可測であることを示すことができる そのときの問題は、同値類R/Qの代表を集合として考えるときに、 実は”フルパワー選択公理”を使ってしまっていることだ 3）従って、フルパワー選択公理、従属選択公理、可算選択公理の別に従って できる モデルが異なるってことだね これは、良い子は 覚えておこうね （＾＾ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1761878205/58
補足 引用開始 纏めると フルパワー選択公理を認めるとルベーグ非可測な実数集合 の存在ができる 一方 到達不可能な基数の存在を仮定して フルパワー選択公理 従属選択公理 に弱めると 任意の実数の部分集合が 可測である の存在が証明できる 当然ながら従属選択公理では 非可測集合の存在は 証明できない かように 採用する選択公理の強度によって証明可能な集合に差が生じるのです 良い子はこれを覚えておこうね 引用終り さらに補足する もし可算選択公理しか認めないならば もっと簡単に任意の実数の部分集合が 可測である の存在が証明できるだろう どうやれば良いかは知らないが 公理的集合論の外素朴集合論から見ると 実数の有理数による同値類を考えることは可能であり また同値類の代表を考えることは可能である よってのように 同値類の代表について を区間内にとり それが 非可測であることを示すことができる そのときの問題は同値類の代表を集合として考えるときに 実はフルパワー選択公理を使ってしまっていることだ 従ってフルパワー選択公理従属選択公理可算選択公理の別に従って できる モデルが異なるってことだね これは良い子は 覚えておこうね
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