[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part434 (1002ﾚｽ)
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266(2): 2024/04/17(水)13:46 ID:SUrDbMTo(1/2) AAS
△ABCの垂心をHとし、AHと直線BCの交点をL、BHと直線CAの交点をM、CHと直線ABの交点をNとする。
mid(x,y,z)でx,y,zのうち2番目に大きくない値を表すとき、
f(△ABC)=mid(BL,CM,AN)/mid(AB,BC,CA)
とする。
△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
267(2): 2024/04/17(水)13:48 ID:SUrDbMTo(2/2) AAS
定積分
∫[1,e] {log(x)}^3 dx
を求めよ。ここで対数の底はeである。
268(1): 2024/04/17(水)15:11 ID:Dojom4Xi(3/5) AAS
a,b,c,d,e,fを正整数とするとき
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 = 666666 をみたすa,b,c,d,e,fは存在しないことを示せ。
あらゆるリソースを用いてよい。
269: 2024/04/17(水)15:12 ID:lwglMa0M(2/2) AAS
2番目に大きくない値
wwwwwwwwwwwwwwww
270: 2024/04/17(水)15:17 ID:Dojom4Xi(4/5) AAS
>>267
部分積分を数回使って 6 - 2e
271: 2024/04/17(水)15:44 ID:Dojom4Xi(5/5) AAS
>>266
R言語で作図の練習
鈍角三角形のときは垂心が三角形の外にくる。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
10万回の結果
> summary(y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0005697 0.4075665 0.6779041 0.6423093 0.9227072 1.0000000
予想は 0超過1未満
東大合格者による検証を希望します。
272(1): 2024/04/17(水)16:36 ID:fXJPsOzb(1/2) AAS
y=sin(x)-sin(x-120°)
これって簡単にするとy=sin(x-30°)みたいになるよね？
位相がズレるだけでsin波のまま
導出はそうやるの？
273(1): 2024/04/17(水)17:00 ID:fXJPsOzb(2/2) AAS
和積まで辿り着いたがうまくきれいにならん
274: 2024/04/17(水)17:12 ID:NlOGF2tm(1) AAS
おいおい、和積まで辿り着けたなら当てはめるだけだろ
あとは、二項めを加法定理でばらした後に合成をするという手もある
275(1): 2024/04/17(水)20:52 ID:qbH/8Fwh(3/3) AAS
AA省
276(1): 2024/04/17(水)23:39 ID:p8T6m3Aw(1) AAS
mod 7
277(2): 2024/04/18(木)01:23 ID:wAg8T1zy(1/4) AAS
フェルマーの小定理から、
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
x≡0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 0 (mod 7)
∴ (a〜f の内 7で割り切れないものの数)
≡ mod(a^6 + b^6 + …… + f^6, 7)
本題では
= mod(666666, 7)
= 0.
∴ a〜f はすべて7で割り切れる。
一方、a^6 + b^6 + …… + f^6 = 666666 は 7^6 で割り切れない
省1
278: 2024/04/18(木)06:08 ID:fdnCKW9N(1) AAS
>>275-277
レスありがとうございます。
次々とほぼ想定した正解がレスされて感服しました。
279: 2024/04/18(木)06:36 ID:64Io791z(1/12) AAS
座標を固定して描画させようとすると三角形がはみだしたり、小さすぎてみえないので
三角形に合わせて座標の表示幅を調整するように改変。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
シミュレーションして遊ぶ問題
三角形ABCがありBCの長さは１である。
内角∠Bを0<B<πの範囲で無作為に選ぶ
内角∠Cは三角形ABCが成り立つ範囲で無作為に選ぶ
三角形ABCの面積の期待値があればそれを求めよ。
280: 2024/04/18(木)07:17 ID:64Io791z(2/12) AAS
朝飯前の問題
整数の６乗の剰余系での値が０または１になるような剰余系を求めよ。
例：
２の剰余系なら自明
７の剰余系なら
フェルマーの小定理から、>277の通り
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
x≡0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 0 (mod 7)
281: 2024/04/18(木)09:01 ID:64Io791z(3/12) AAS
>266の
>△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
に触発されて作図して遊ぶ。
問題
△ABCがあり、B,Cの座標はB(0,0),C(1,0)とする。△ABCの面積が1であるようにAが動く。
例：画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
（１）△ABCの重心の図形を求めよ
（２）△ABCの外心の図形を求めよ
（３）△ABCの内心の図形を求めよ
（４）△ABCの垂心の図形を求めよ
省1
282(1): 2024/04/18(木)15:16 ID:wAg8T1zy(2/4) AAS
BC = 1,
面積S = BC*(Aから辺BC(の延長線)に下した垂線の長さ)/2
= BC*(Aの高さ)/2,
題意より S=1 で Aの高さは2, A(a, ±2)
(1) 重心G ((1+a)/3, ±2/3)
軌跡： 2直線 y=-2/3, y=2/3,
(2) 外心O (1/2, ±(aa-a+4)/4),
軌跡： 半直線 x=1/2, |y|≧15/16 (R≧17/16)
(3) 内心I ({1+√[1 + 2(aa-a+4) −2√{4+(aa-a+4)^2}]}/2, r)
283: 2024/04/18(木)16:00 ID:J4j+GBSH(1/4) AAS
cot(2B) + cot(2C) = const.
284(1): 2024/04/18(木)16:03 ID:J4j+GBSH(2/4) AAS
cot(B) + cot(C) = const.
285(2): 2024/04/18(木)16:08 ID:wAg8T1zy(3/4) AAS
内心I ( [1 + √(4+aa) + √(4+(1-a)^2)]/2, r)
r = 1 − [√(4+aa)−a] [√(4+(1-a)^2)−(1-a)]/4,
かなぁ
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