物理学における群論 (122ﾚｽ)
上下前次1-新
37: 2021/09/07(火)05:36 ID:??? AAS
8 共通な文字を含まない場合、すなわち独立な場合にはab=baとなる。
9 巡回置換a^m=eとする。
初めに着目した文字についての置換に現れなかった別の文字についても同様の操作を行う。aの作用を受ける全ての文字について行えばaはこれらの置換の積になる。
任意の巡回置換は互換の積として表せる。
10 巡回置換に限らず、任意の置換は互換の積として表せる。
11
285139647
=(1284)(35)(697)
=(12)(18)(14)(35)(69)(67)
562971438
省9
38: 2021/09/10(金)15:24 ID:??? AAS
1ケイリーの定理。G=eab‥c
eg、ag、bg‥、cg。置換表。
2 x=3、y=4。
3 §13 問5 (1)
4 e、a=1234、a^2=13, 24
a^3=1432。
5 クラインの四元群。
e、a=13, 24、b=12. 34
c==14, 23。
39: 2021/09/10(金)16:50 ID:??? AAS
6 正n角形の中心を固定する。回転Cnは対称変換。裏返しの変換b。Cnb。Dn=Cn∪Cnb。|Dn|=2n。
7 正三角形の対称変換群。D3=S3。同型。
正三角形の表側だけの対称変換群。C3=A3。同型。
8 正方形の対称変換群D4。
e, 1234, 13+24, 1432,
12+34, 24, 14+23, 13。
9 球面と同相な多面体。
オイラーの多面体定理。
p-q+r=2。
1つの頂点に集まる(1つの頂点を囲む)辺の総数をx、1つの面に集まる(1つの面を囲む)辺の総数をyとする。
省8
40: 2021/09/11(土)17:34 ID:??? AAS
1 空でない部分集合H
閉鎖律ab∈H。結合律。
逆元の存在。単位元の存在。
必要性は明らか。
2 空でないからa∈Hとする。
単位元の存在。逆元の存在が順に分かる。b∈Hとすると閉鎖律も成り立つ。結合律は成り立つ。
必要性は明らか。
3 aで生成される巡回部分群〈a〉を考えると逆元が存在する。よって閉鎖律を仮定すれば成り立つ。
必要性は明らか。
4 前問と同様。
省11
41: 2021/09/11(土)18:04 ID:??? AAS
9 C12。位数12の巡回群。
g1、g2、‥。g2、g4、‥。
g3、g6、‥。g4、g8、‥。
g6。e。包含関係。正方形2個連結。
10。可換群の部分群は可換群となる。
11 最小の正の整数を考える。巡回群の部分群は巡回群となる。少なくとも1つはgm、m>0を持つ。
12 非可換群≠{e}。a≠eを少なくとも1つは持つ。amは巡回群で、可換だから部分集合にはならない。
13 極大部分群。
CnはDn'の極大部分群。
An'はSn'の極大部分群。
省11
42: 2021/09/11(土)23:57 ID:??? AAS
1 左合同。
2 反射律。対称律。推移律。
同値関係。左剰余類。
3 Ha=Hb。
4 |H|=m。
5 ラグランジュの定理。
Gの左分解。
|G|=n、|G : H|・|H|=lm。
6 左分解の表。
0123
省7
43: 2021/09/12(日)00:22 ID:??? AAS
8 ラグランジュの定理。
巡回部分群。
9 正しくない。反例は位数12の群A4には位数6の部分群は存在しない。
10 巡回部分君砥一致する。逆はラグランジュの定理から明らか。
11 素数位数の群。巡回部分群。前問により明らか。
12 数学的帰納法によって証明する。正規部分群。
13 自明。単位群。単純群。真部分群を持たない。
44: 2021/09/12(日)00:36 ID:??? AAS
14 極大正規部分群。Hの指数。左分解。右分解。
15 どちらも指数が2になる。
16 真部分群Hに対してHa≠aHなるaが存在することを確かめる。
17 D2以外の真部分群に対して前問と同様にする。
18 Zの7Zに関する左分解の表。
カレンダーと同じ。
01020304050607
08091011121314
15161718192021
22232425262728
省1
45: 2021/09/14(火)03:35 ID:??? AAS
1 共役関係。
同値律。反射律。対称律。推移律。類別。類。同値関係。同値類。
2 S3=e, 123, 132, 12, 23, 13
C6=e、g、g2、g3、g4、g5
A4=e、12+34, 13+24, 14+23,
234, 243,134, 143, 124, 142,
123, 132
3 y=x^(-1)ax。負の整数に関しても示す。o(a)はaの位数。
4 xy〜yx。
5 置換の合成。
省10
46: 2021/09/14(火)16:16 ID:??? AAS
7 nの分割。分割数。コーシーの公式。単一の巡回置換の場合。共通の文字を含まない幾つかの巡回置換の積の場合。
8 S4。
1が1個。12が6個。12+34が3個。123が8個。1234が6個。24個。
9 S5。
1が1個。12が10個。12+34が15個。123が20個。123+45が20個。1234が30個。12345が24個。120個。
10 反射律。対称律。推移律が成り立つ事が確かめられるので同値関係である。
11 必要性は明らか。逆にa^(-1)Ha⊂H。
省1
47(1): 2021/09/14(火)16:31 ID:??? AAS
±1、+i
±1、±j。
±1、±k。
|Q : A|=2より、Aは極大部分集合である。ハミルトン群。
xを不変にする集合を中心。
正規部分群である。
可換群である⇔n>3ならば中心が単位元である。
48: 2021/09/14(火)16:55 ID:??? AAS
1 複体。閉鎖律。結合律。単位元の存在。逆元の存在。群をなす。
2 Gの二元演算と両立する。
Gの共役関係はGの二元演算と両立しない。
3 準同型写像。単位元と逆元。
4 Imf。Kerf。部分群。正規部分群。
5 全射とImf。単射とKerf。
6 準同型写像 定義明確。
同値関係。合同関係。
省3
49: 2021/09/14(火)17:14 ID:??? AAS
9 準同型定理。
f=p→φ。乗法的。全射。単射。準同型写像。よって同型写像になる。
10 f(x)=eに準同型定理を適用する。 f(x)=xに準同型定理を適用する。
11 準同型写像。正規部分群。自然な準同型写像。
12 C6。位数6の巡回群。準同型。像。Kerf=K'。
13 四元数群。中心に感すら剰余群。クラインの四元群と同型。
±1→e、±i→a、±j→b、±K→cに準同型定理を適用する。
省1
50: 2021/09/15(水)01:33 ID:??? AAS
10 全部で6個。
(λ-t)^3
(t-λ)
200
020
002
(t-λ)^2
210
020
002
省28
51: 2021/09/15(水)02:08 ID:??? AAS
12
固有方程式はDet(A-tI)=0
(t-4)^2=0、t=4。
Rank(A-4I)=1。
固有値4に対する固有空間の次数は2-Rank(A-4I)=2-1=1。ジョルダン細胞の個数は1。AP=PJ。
J=4104. P=31-30
ジョルダン標準形。
変換行列。
11
固有値λに対する固有空間Vの次元はdimV=7-Rank(A-λI)=7-4=3。
省15
52: 2021/09/15(水)02:24 ID:??? AAS
13
Det(A-λI)=0より、(t+1)^3=0、t=-1。
Rank(A+I)=1、Rank(A+I)^2=0
固有値-1に対する固有空間の次数は3-1=2。これはジョルダン細胞の個数である。標数は2で、これは最大のジョルダン細胞の次数である。
よってジョルダン標準形は
-110
0-10
00-1
ジョルダン鎖。ジョルダン基。
101
省3
53: 2021/09/19(日)00:27 ID:??? AAS
固有値は2, -3
(P^(-1)AP)^n=(D+N)^n
P^(-1)A^nP=D^n+nDN^(n-1)
固有値は3。
(P^(-1)AP)^n=(3I+N)^n
exp(3I)=I+3I+9/2I+=e^3I
expN=I+N+1/2N^2=M
expA=exp(3I+N)=exp(3I)expN
=e^3I×M=e^3M。
x(n)=A^n(x0)
省8
54: 2021/09/19(日)18:01 ID:??? AAS
1 HがGの極大正規部分群てはないとする。G▷K▷HなるGの正規部分群Kが存在する。従ってG/H▷K/H▷H/HとなりG/Hは単純群ではない。逆も明らか。
55: 2021/09/29(水)08:04 ID:??? AAS
2 |G/H|=|G : H|=l 素数。
G/Hは単純群。HはGの極大正規部分群。
3 A4▷D2▷AであるがA4▷Aではない。
4 S4▷A4▷D▷A▷e
組成列ではない
C▷R▷Q▷Z▷2Z▷0 加法群
組成列ではない
5 Gの正規部分群の中でGと異なる位数最大なものG1が存在する。▷e。最大正規部分群は唯一とは限らない。
正規鎖Z▷2Z▷4Z▷8Z。組成列を持たない。
6 C12は3個の組成列を持つ。
省11
56: 2021/09/29(水)08:20 ID:??? AAS
11 可解列。細分。部分群。可換。第3同型定理。この操作を繰り返す。
12 剰余群列。素数位数。部分群。正規部分群。第2同型定理。組成列。逆は明らか。可解群。
13 共通部分を作る。
14 S4▷A4▷D2▷e
元の正規鎖は可解列。
15 A5は位数最小の非可解群である。アーペルの定理。単純群。非可換。非可解列。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 66 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.010s