[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (1002ﾚｽ)
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985(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:12 ID:KYsCHIBD(1/4) AAS
>>975-981
ありがとう
その無限小数の話は面白いね
下記の ja.wikipedia が、良く纏まっている
１）まず、無限小数展開の存在を認めるか否か？
２）無限小数展開の定義として
a)いくらでも繰り返せるが、無限小数の存在を認めない（無限操作を認めない）
b)無限小数の存在を認めるが（無限操作を認める）、”無限小”は導入しない
c)無限小数の存在を認めるし、”無限小”も導入する
下記”算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている”
ですね
で、社会人レベルは 上記１）,２）のa)〜c) は、立場の違い
というか、その場そのときで、適切に選んで良いということだね
牛刀を用いてニワトリを割くがごとく いつも牛刀を持ち出す必要は無い
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。
概要
一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。
0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学では最も一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈（有限小数の極限としての解釈）の下で式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。
算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法（この場合、0.999…）があることや、0.999… が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。
代数的な証明
分数による証明
1/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。
0.333・・・=1/3
3 ｘ 0.333・・・= 3 ｘ1/3 [1]
0.999・・・= 1
987(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:23 ID:KYsCHIBD(2/4) AAS
>>985 補足
>社会人レベルは 上記１）,２）のa)〜c) は、立場の違い
>というか、その場そのときで、適切に選んで良いということだね
>牛刀を用いてニワトリを割くがごとく いつも牛刀を持ち出す必要は無い
下記の”無限公理 独立性”
『無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する』
ですね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。
無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
もちろん、フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラス
Vω
と要素関係は元のままの組である。このシステムに空集合の公理を含まないとすると(ZF+Infinityから導出できるので)、空な構造もまたZFC − Infinity + ¬Infinityを満たす。なぜなら、残りの公理はすべて全称量化されているため、集合が全くないときは明らかに成り立つ。
自然数全体の集合の濃度は、アレフ0(ℵ0)であり、巨大基数公理の多くを満たす。このため、無限公理はときおり最初の「巨大基数公理」とみなされる。逆に巨大基数公理は強い無限公理と呼ばれる[誰によって?]。
988: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:30 ID:KYsCHIBD(3/4) AAS
>>985 補足
>分数による証明
>/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。
>0.333・・・=1/3
有理数1/3 が、巡回小数表現を持つことは、小学生レベルだろう
だが、これを 極限だの なんだのと グダグダしい説明をする必要はない！
それは、小学生向けのみならず 大学生向けでも同じ
無限小数表現 1/3＝0.333・・・
この右辺は、無限小数 と考えることは、無問題
極限を持ち出す必要はない
989: 08/23(土)09:33 ID:XQOxXTSd(5/13) AAS
>>985
＞無限小数の話は面白いね
無限小数が何だか、分かってない高卒 ◆yH25M02vWFhP にはね
＞まず、無限小数展開の存在を認めるか否か？
無限小数展開とは、有限小数の無限列である
そして有限小数の無限列とは、自然数から有限小数への写像である
これを認めないなら、大学の数学を認めないってことだ
君、大学の数学を認める？認めない 認めないなら大学は卒業できない
高卒として、就職くれたまえ
＞無限小数展開の定義として
＞a)いくらでも繰り返せるが、無限小数の存在を認めない（無限操作を認めない）
任意の自然数ｎについて、{1,…,n}から有限小数への写像を認めるが、
自然数全体から有限小数への写像は認めない、というなら
無限列という概念自体を否定することになるから
大学の数学を認めないってことになる
高卒として、就職してくれたまえ
＞b)無限小数の存在を認めるが（無限操作を認める）、”無限小”は導入しない
まず無限操作なんて大学の数学では全く認めてないので
そんな統失の妄想は全部捨て去ってくれたまえ
その上で、例えば
0.1,0.01,0.001,…
という数列は
0.0,0.00,0.000,…
という数列と同値とすると、無限小は現れない
大学１年の微分積分学では上記の定義に基づく
正しく理解できれば、単位が取れるので
大卒の資格を得る可能性が保持される
＞c)無限小数の存在を認めるし、”無限小”も導入する
一方で、
0.1,0.01,0.001,…
という数列は
0.0,0.00,0.000,…
という数列と異なるとすると
「無限小」とかいうものが現れる「超実数」になってしまう
このようなものを考える数学もあり得るが
大学１年の微分積分学とは異なるので
「超実数」に固執する限り、単位はとれない
高卒として、就職してくれたまえ
990: 08/23(土)09:35 ID:XQOxXTSd(6/13) AAS
>>985
＞0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が
＞正しいと教えることは一つの課題となっている
これはカントールの実数論の定義なので
受け入れないなら、大学の微分積分学の単位はとれない
宗教の強制？ そうかもしれんね
いやなら大学をやめて、高卒のままでいるこった
別に止めないよ
991: 08/23(土)09:39 ID:XQOxXTSd(7/13) AAS
>>985
＞社会人レベルは
＞上記１）,２）のa)〜c) は、
＞立場の違いというか、その場そのときで、
＞適切に選んで良いということだね
社会人として認められたいなら、
2)のb)を受け入れるしかない
1)もしくは2)のa)は土人
2)のc)は奇人
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