Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (772ﾚｽ)
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ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

64(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/28(月)21:10 ID:DgNswCrs(1) AAS
>>63
ゴキブリくんは、あたま悪いなｗ　；ｐ）

下記の
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない

繰り返すが
ZF公理系では両者は全く別物だよ

わかんねーだろうな
ゴキブリあたまじゃねｗ　；ｐ）

(参考)
１）
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ufcpp.net
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 自然数
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

２）
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

77(4): 07/29(火)22:28 ID:ggOSvtF9(6/7) AAS
>>75
>・無制限な集合概念の拡大の公理による抑制の一つが、無限公理でありまた冪集合公理なのだ
はい、大間違いです。
内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による。
内包公理に代わる公理が分出公理。（なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？）
分出公理から導出できない対の公理、和集合の公理、べき集合の公理、無限公理が別に必要となった。（なぜこれらの公理の導出が内包公理からはでき、分出公理からはできないか分かるかい？）
さらに標準的なZFでは分出公理に代えて置換公理を採用する。その際置換公理から導出できない空集合の公理が別に必要となる。（なぜ空集合の公理の導出が分出公理からはでき、置換公理からはできないか分かるかい？）

>素朴集合論では自然数N＝{0,1,2,・・・}だが
意味不明。

>b)冪集合公理も同様。
意味不明。何がどう同様と？

>無制限の集合は認めない。が、冪集合公理を作って可算無限の冪集合で非可算を作ることは認めるのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>３）つまりは、無限公理が無くば無限集合なく、また冪集合公理が無くば非可算無限もないのです
上記の通り。君は大局観が分かってない。

>この Terence Tao “big picture”（囲碁では大局観）が
>分らないオチコボレさんが居るのですねｗｗｗ；ｐ）
それが君。

それで君、∩は理解したのかい？　君が犯した無数の間違いが間違いであることは理解したのかい？　なんかしれっと話題変えてるけど

82(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/30(水)18:17 ID:2NlqhhKB(2/3) AAS
>>77
>内包公理の存在がラッセルのパラドックスの直接原因。抑制はもっぱら内包公理の排除による

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）
下記の東北大尾畑研 ”2.3 ラッセルのパラドックス”を百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.math.is.tohoku.ac.jp
東北大尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.is.tohoku.ac.jp
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第2章集合

P32
2.3 ラッセルのパラドックス
19世紀末から20世紀初頭にかけて数学は論理に帰着しうるという思想(論理主義)が盛んになった
その最初の論客はフレーゲであったフレーゲは論理主義の立場から自然数論と実数論を純粋に論理から組み立てようとして「算術の基本法則」(1893)を著した
広くは読まれなかったようであるがこの本を手にしたラッセルはフレーゲに書簡を送り後年ラッセルのパラドックスと呼ばれることになる矛盾を指摘した(1902年)

ラッセルは述語論理を用いて矛盾を指摘したがそれを集合の言葉に翻訳すると次のようになる
まず集合は次の2種類に分類できる
第I種自分自身をその元として含む X∈X
第II種自分自身をその元として含む X not∈X
第I種集合としては例えば「すべての集合の集合」「食べられないものの集合」「無生物の集合」などが考えられる
ここで第II種集合をすべて集めてでき
る集合をKとおこうつまり
K={X | X not∈X}
Kは第I種であるかあるいは第II種であるかのいずれかである
まずは第I種ではないなぜならば第I種であれば K ∈Kが成り立たねばならない
が集合Kの定義からこのようなKは集合Kの元にならないので K not∈K
となるこれはKを第I種であるとした初めの仮定に矛盾するならばKは
第II種集合だろうか Kが第II種集合であればその定義からK not∈K
この性質をもつ集合は集合Kの定義(2.9)によってにK属するからこの
性質をもつ集合は集合の定義によってに属するから K ∈K
略
ラッセルは「型理論」(1903)によってパラドックスを解消しその後ホワイトヘッドとの共著
「数学原理」(1910-1913 全3巻 2000ページに迫る大著によって高階述語論理上で全数学を
展開するという取組みを推進した
略
ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった
矛盾を引き起こした問題を先送りして根本的解決から逃げてしまったようにも見えるが
多くの人々の努力によって現代数学を展開する上で十分な自由度が確保された集合論が出来上がっている
なお集合の公理については第節で少し触れることにする

90(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/30(水)23:10 ID:mIho28o5(2/3) AAS
>>88 追加
『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』(下記)
ゴキブリさんは、これを百回音読しましょう！ｗ　；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Russell's paradox
google訳
集合理論的応答
1908年、エルンスト・ツェルメロは、任意の集合理解を分離公理（Aussonderung ）などのより弱い存在公理に置き換えることで素朴集合論のパラドックスを回避する集合論の公理化を提案した。（パラドックスの回避はツェルメロの当初の意図ではなく、彼が整列定理を証明する際に用いた仮定を文書化するためであった。）[ 9 ]この公理理論は、1920年代にアブラハム・フランケル、トラルフ・スコーレム、そしてツェルメロ自身によって修正され、 ZFCと呼ばれる公理的集合論となった。ツェルメロの選択公理が論争を呼ぶことがなくなると、この理論は広く受け入れられるようになり、ZFCは現在まで標準的な公理的集合論であり続けている。

ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません。ZFCのいくつかの拡張、特にフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論では、Rのような対象は真クラスと呼ばれます。

ZFCでは、集合Aが与えられたとき、 Aに含まれる集合のうち、自身を要素としない集合だけからなる集合Bを定義することができます。ラッセルのパラドックスと同様の理由により、 B はAに含まれません。このラッセルのパラドックスのバリエーションは、すべての要素を含む集合は存在しないことを示しています。

ツェルメロら、特にジョン・フォン・ノイマンの研究によって、ZFCによって記述される「自然な」対象とみなされるものの構造が最終的に明らかになった。それは、空集合からべき乗集合演算を無限に反復することで構築されたフォン・ノイマン宇宙 V の要素である。こうして、ラッセルのパラドックスに抵触することなく、非公理的な方法で集合について推論することが再び可能になった。つまり、Vの要素について推論するのである。このように集合を考えることが適切かどうかは、数学哲学における対立する見解の間で論争の的となっている。

ラッセルのパラドックスに対する他の解決策としては、型理論に近い戦略に基づくクワインの新基礎理論やスコット＝ポッター集合論などが挙げられる。さらに別のアプローチとしては、二重拡張集合論のように、適切に修正された理解体系を用いて多重帰属関係を定義する方法がある

91(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/30(水)23:19 ID:mIho28o5(3/3) AAS
>>90 補足
>『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』

　これ>>82 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
と同じ趣旨だ

要するに、パラドックスを起こさないように
『何が集合であり何が集合でないのかを（しっかり）設定』する
これが、ZFC公理集合論によるラッセルのパラドックスの克服法なのですんｍんｍ
勝手なワケワカの記号∩の使用ｗｗそれは”お呼びじゃない”ってことねｗｗｗ　；ｐ）

93(4): 07/31(木)02:00 ID:1CxagZxr(1/17) AAS
>>90
>『ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。
は
>抑制はもっぱら内包公理の排除による。(>>77)
のことを言っている。

>むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。
は
>内包公理に代わる公理が分出公理。(>>77)
のことを言っている。

>上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象R は、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません』
が
>なぜ分出公理はラッセルのパラドックスを起こさないか分かるかい？(>>77)
の答え。

君、理解できる？　コピペしかできない君には無理かな？

>>91
>勝手なワケワカの記号∩の使用ｗｗそれは”お呼びじゃない”ってことねｗｗｗ　；ｐ）
ワケワカなのはもっぱら君が馬鹿だから。
実際、分出公理により任意の集合Xの共通部分∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀y∈X:(x∈y)}が存在することが保証されている。

97(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)07:14 ID:ZOjwMpAx(1/6) AAS
>>92
>>>90-91で引用されている内容って、>>77（の前半）と別に矛盾しないのでは。

ありがとう

矛盾はしないとしても
ポイントは、>>91 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
ということ

この視点から >>64の
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』
を見ると

いまの場合 aもAもどちらも無限公理により存在する集合を任意に選んだのだが
公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
繰り返すが、ここは重要ポイントです

さらに付言しておくが
ZFC公理系で最初に定義される無限集合の最小集合たる自然数の集合N=ωで
どういう公理を使って、N=ωが定義されるかを
明示的に示すことは、非常に重要なのです

無限公理外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する

また、ここ ja.wikipediaから、下記の英仏独のwikipediaを辿れる
英wikipedia 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
仏wikipedia 外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
独wikipedia 外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org

いずれも、無限集合から直接分出公理を使ってその部分集合として
自然数の集合を抽出しています

さて、記号∩を使うことを、ZFC公理から批判すると
使っている公理を明示的に示すことにおいて、劣るということ
分出公理を使って直接部分集合として自然数の集合を抽出できるのに
わざわざ記号∩を使うの？なんかヘンですよね
しかも、唐突に∩。どの公理から従うかを明示せずに

104(10): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)11:05 ID:6G+cbRJY(2/6) AAS
>>99-100
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているなｗ　；ｐ）

>>公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
>二つの集合が等しいための条件は外延性の公理で規定されているが

　>>97より
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』

これで
１）まず上記の前者１）で ”P (a) は a の「冪集合」”において
　aは無限公理から得られる任意の無限集合だが、いま簡単に可算無限としよう
　そうすると、冪集合P(a)は非可算で集合族のa^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}も非可算の族になる
　（∵ M(x)が「x は無限集合である」から P(a)の有限集合でない集合族だが、有限集合の族は高々可算でしかないよね）
２）一方上記の前者２）で {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}を集合族としてみると
　冪集合公理の適用がないから、上記１）のP(a)の何か部分族であることは間違いないが
　しかし、Aが可算無限として冪集合公理を適用しない場合、非可算の族になりえず、可算の族に留まるよ
３）従って、上記の１）と２）は、集合族の視点で前者は非可算、後者はせいぜい可算の族だ
　だから、集合積∩を作った時に、たまたま両者が等しくなるとしても
　それは要証明事項だよ
　”外延性の公理”？
　明らかに異なる集合族でその集合積∩が等しいということの証明に
　”外延性の公理”適用で終わりとは出来ません！ｗ；ｐ）■

105(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)11:33 ID:6G+cbRJY(3/6) AAS
>>104 追加

それから
ZFC公理系で、下記 ”5. 和集合の公理”はあるが
一方、積集合∩ は公理ではない
よって、積集合∩については他の公理を使って
組み立てる必要がある
それお願いしますねｗｗ　；ｐ）

追伸
　>>97に示したように
"無限公理外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する"
となっているのに、なんぜわざわざ積集合∩を使うのかな？ｗ　；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ツェルメロ＝フレンケル集合論
公理
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照

111(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)18:12 ID:6G+cbRJY(5/6) AAS
>>107-110
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）

>x ∈P(a) と x⊂a は全く同じですが何か？

公理的集合論において
集合族としてみたときに、両者は全く別物ですよ

素朴集合論の議論と、公理的集合論の議論との
区別が全くついていないねゴキブリさんはｗ　；ｐ）

あたかも
素朴集合論でペアノ公理 N：＝{0,1,2,・・・} と定義したとき
それは、公理的集合論においては無限集合として認められないが如し
公理的集合論においては
　N：＝{0,1,2,・・・} は、無限公理の部分集合を経由しないと
　それはあくまで上限の無い有限集合でしかない
　無限集合として N：＝{0,1,2,・・・} を得るためには
　>>105の ja.wikipedia 無限公理で一旦無限集合Iの存在を経由して
　無限集合Iの部分集合として N：＝{0,1,2,・・・} を抽出する
そうして、初めて N：＝{0,1,2,・・・} は、無限集合になります

同様に、べき集合公理でべき集合を作ってP(a)（aが可算無限ならP(a)は非可算無限）
そこから集合族 x ∈P(a) をつくったときと非可算の集合族ができるが

一方漫然とべき集合公理無しで x⊂a で集合族を作った時とでは
公理的集合論の中では、両者は異なるのです
∵べき集合公理無しで x⊂a から P(a)と同様に非可算無限族ができるならべき集合公理は不要！！！

>君が∩を理解しておらず字面で判断するから違うように見えるだけだって。

だから、記号∩は (和集合と違って) 公理ではありません！(>>105の通り）
記号∩、特に今回は”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”>>104
を、ZFCの公理を使って、これが無限集合のN：＝{0,1,2,・・・} であることを示してねｗｗ；ｐ）
それが出来ないならば ZFCの公理の立場からはこの立式は認められない！！ｗｗｗ（＾＾

157(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)23:51 ID:ZOjwMpAx(6/6) AAS
>>119
>{x⊂a|x=x}はaの部分集合全体の集合だから、P(a)と書かれてなくとも当然P(a)を使ってる。
>P(a)と書かれてないからP(a)を使ってないという考えが浅はか。

詭弁だな >>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つの式で前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から有限集合を除いた集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））

一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ

185(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/01(金)07:28 ID:3GStjv9j(3/5) AAS
>>169-170
(引用開始)
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
はい、大間違いです。
使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
君は、公理系の理解がサッパリだね
昔は、小学校のユークリッド幾何の公理で、公理系の考えを叩き込まれたものだった
君は、数学科１年の初日でオチコボレさんで、公理系の理解がサッパリくんで、昔の小学生以下だよ

一つの公理系の中で、使って良いのはそこで規定された公理のみ！
但し、規定された公理は、何回使ってもよい。無料でね！！ｗ　；ｐ）
但し、どの公理をどう使うかは、明示しなければならない！！！（下記公理 ja.wikipedia）
かつ、ZFC公理の中では、命題は集合の言葉で書かれるからどの公理を使ったかは自然に明記されるのです

『使うと言ってないからといって使っていないことにはならない。且つZF上では使ってよい』？
なんじゃそらｗｗ　；ｐ）
下記の公理 ja.wikipedia の全文を百回音読してねｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
公理（英: axiom）は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。
ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。

226(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/02(土)11:26 ID:WzsFWnhL(2/11) AAS
補足 >>157で
(引用開始)
>>104より
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P(a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つの式で前者１）の a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} は、冪集合 P(a)の殆ど全てを渡る集合族である
∵ aは無限公理の一つの無限集合を選んだもので、P(a)は非可算濃度以上で M(x)＝「x は無限集合である」だから
（つまり、 P(a)から有限集合を除いた集合族が a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)} （つまり P(a)の無限集合の部分））
一方、後者２）の {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、冪集合公理 P(A) を使っていない（使うと言ってない）
だから、Aが無限公理の一つの無限集合を選んだものとして、Aが可算の場合に
集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、非可算の集合族にはできません！
冪集合公理 P(A) を使わない限り、非可算の集合族にはできません！！ｗｗｗ
(引用終り)

さて
１）上記の１）と２）の式は、記号∩を使っているところは同じだが
　∩につづく集合族が異なる
　上記を繰り返すが、１）の式は a の「冪集合」P(a)の無限集合部分をその族としている
　（既に述べたようにこれは非可算の族になる）
　一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方も A(＝無限集合)の何かの部分集合から成る族だ
　だから、両者は異なる
２）簡単に下記順序数を使って説明する
　”すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい”から
　 S(S(S(ω)))＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω),S(S(ω))}だ
　これは、無限集合なので a＝S(S(S(ω))) と取るよ
　すると、「冪集合」P(a)で、部分集合として
　ω={0, 1, 2, 3, ............}(つまりこれはNだが)が存在する
　ここで、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」を、無限という言葉を使わずうまく定義できればOKだ
　問題は公理的集合論で ”無限”の定義をどうするか？
　ここで行き詰まる（良い知恵があれば、教えてね；ｐ）
３）一方、N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の方では
　同様に A＝S(S(S(ω))) と取るとき
　{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
　S(ω)⊂S(S(ω))なので（∵すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい）
　従って、積 S(ω)∩S(S(ω))＝S(ω)≠ω となるよね
　つまり、上記２）においては集合族 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
　必ず最小のωが含まれていなければならないが、その保証がない！（要証明）

まとめると、上記１）式は、命題 M(x)：＝「x は無限集合である」が集合公理で定義できれば
ωを含むので ωを出せる
上記１）式は、最小のωが含まれていることの集合公理を使った証明が必要だね

上記１）２）式とも、気持ちは分るが公理的な目からは不十分では？
その点、分出公理だけを使う無限公理のwikipedia の手法(>>220)は、スッキリで是認できる■ （＾＾

つづく

233(9): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/02(土)13:45 ID:WzsFWnhL(4/11) AAS
>>230
(引用開始)
>>226
>{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
>S(ω)とS(S(ω))の両方が適合するよね
だからしないと言ってるのに言葉が通じないの？　言語障害？
実際、ω∈S(ω) だが、S(ω)∈S(ω) なら正則性公理違反だから、S(ω)は後者関数に関して閉じてない、よって帰納的集合ではない。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
なるほどでは、

{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合を意味するとして
　↓
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} が、帰納的な無限集合ωを含む集合を意味するとして
に修正しようね

もっとも、式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}は、>>226からの引用だが
それは、下記のja.wikipedia ペアノの公理「自然数の集合論的構成」と称する

だれが書いたか出典不明の記載でしかないのです
だから、私にもその真意は分らない、書いた人にしか分らないはずだ

ところが、ゴキブリくんは、この誰が書いたか分らない
いわば道端に落ちていた真意不明腐っているかも知れない式を必死に擁護するのが（なんかヘンですよねぇｗｗ）

式 {x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}に
見つけた中で一番近いのが下記の独 de.wikipedia Infinity axiom（無限公理）
の ”∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))” だと思う

つまり前者の式は、後者の式の無限集合Aの部分集合を意図*)していると思うのだが
(注*)ある無限集合Aにおける帰納的の部分を含むなにか無限である部分を意図しているらしい)

ここで、問題は >>226の ω(=N)＝{0, 1, 2, 3, ............}が、きっちり導けるのかだがそれ大問題です
つまり、下記ペアノの公理の式 N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} において

{x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]} 自身は、おそらくは殆ど ω自身ではないはずだ
（なにか ω自身が存在してそれを特定できるならばそれをωとして定義すれば良いだけだから）

そこで ω自身を特定できない前提で、ワケ分らず集合積∩を作って
これぞ、自然数 Nです！　Nの定義ですってか？笑わせんなよおいｗｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
集合論における自然数の標準的な構成法としては
・N:=∩ {x⊂A∣∅∈x∧∀ y [y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
（google 独→日訳）
Infinity axiom
formulation
There are a infinity set
A, which is the empty set ∅ and with each element x∈A also the amount x∪{x} contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set.

265(3): 08/03(日)17:45 ID:2sRhWGI4(1/2) AAS
（>>208より引用開始）
∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす
もっとも小さい集合となっている
理解すべきはこれだけ
{0,1,2,・・・} であることではない
（引用終了）

定義
　{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び、xが帰納的集合であることをφ(x)と書く。
　Aを任意の帰納的集合とする。
　N:=∩{x⊂A|φ(x)}

補題１
　帰納的集合の族の共通部分は帰納的集合である。
　∀X:((∀Y∈X:φ(Y))→φ(∩X))
証明
　Xを帰納的集合の族とする。
　Xの任意の元（帰納的集合）は{}を持つから∩Xも{}を持つ。
　∩Xがxを持つなら、Xの任意の元（帰納的集合）もxを、従ってx∪{x}を持つから、∩Xはx∪{x}を持つ。
　以上で∩Xは帰納的集合の定義を満たしていることが確認された。

系１−１
　Nは帰納的集合。
証明
　Nの定義と補題１による。

定理２
　Nは任意の帰納的集合に含まれる。
証明
　Nの任意の元nを持たない帰納的集合Bが存在すると仮定。
　C:=A∩BはBの部分集合だからnを持たず、またAの部分集合且つ補題１より帰納的集合だからC∈{x⊂A|φ(x)}
　Nの定義よりNはCの部分集合のはずだからnを持たないはずであり矛盾。
　よってNの任意の元nを持たない帰納的集合は存在しない、すなわち任意の帰納的集合はNの任意の元を持つ、すなわちNは任意の帰納的集合に含まれる。

系２−１
　N上の命題関数P(n)が下記条件をすべて満たすなら∀n∈N(P(n))
　・P({})
　・∀n∈N(P(n)→P(n∪{n}))
証明
　M:={n∈N|P(n)}と定義。M⊂N・・・?。
　条件より{}∈M∧∀n[n∈M→n∪{n}∈M]だからMは帰納的集合。よって定理２よりN⊂M・・・?
　?と?よりN=M、すなわち∀n∈N(P(n))。
　これを数学的帰納法と呼ぶ。

(N,{},S(n):=n∪{n})がペアノの公理の残りを満たすことは容易に示せるだろう。

271(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/03(日)23:30 ID:NbGdsnnL(3/4) AAS
>>265
やれやれ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているね　；ｐ）

さて、私はド素人がこの5ｃｈ便所板に書き散らすバカ証明を読むのが嫌いなんだよ
というのは、ド素人が書き散らす証明は、きっとどこかで滑っているからなのだが
（つまり、ド素人が書き散らす証明を読むのは、赤ペン先生をするのと同義になるからねｗ；ｐ）

さて、ゴキブリくんの >>265 と下記の坪井明人筑波大の講義PDFとを
対比するのが分かり易い

<赤ペン先生>
１）まず、>>265では無限公理を謳っていないのがダメ
２）”{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び”がダメ
　（∵ZFC公理内では、帰納的集合を直接生成できない。下記の de.wikipedia ”Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. ”の通り）
３）後の記述は、ゴミだなｗ　；ｐ）
　なお、下記の坪井明人筑波大にあるように、坪井先生は記号∩を使わずに処理している（百回音読してねｗ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
ロジックの部屋坪井明人筑波大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年)
目次
第 1 章公理的集合論の基礎 5
1.1 集合論の公理 . . . . . 5
1.1.9 無限公理 . . . . 8

Ｐ8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である．
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする．
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

つづく

314(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/04(月)07:01 ID:IiqX04eZ(1/3) AAS
>>296-301
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）
グダラグダラと愚にもつかぬ言い訳を・・ｗｗ

１）>>271の数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
　と対比してみれば、その誤りは一目瞭然だ
２）分かり易く院試の口頭試問で「ZFCで自然数Nの存在を証明してください」と言われたとしよう
　まず最初にやることは、無限公理のステートメントを述べることだ
　”無限公理：
　∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
　x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
　そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．”
３）　ここから、”しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
　{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい．”
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
　QED

さて
禁句は、「自然数Nの存在は自明だから証明不要」だね（＾＾
採点側からは「カチンと来た。こいつダメ！（マイナス判定ｗ）」だろう

さらに、”無限公理”に触れないやつもダメ
ZFCでなぜ無限公理が置かれているのか理解できていないと判断される
（ZFCでは、無制限に集合を作ることは許されない。無限公理なしでは、無限集合ができない！）

もし、無限公理のステートメントをキチンと述べることができれば、それだけで部分点は貰えるだろう
無限公理のステートメントをスタートとして、ゴールは
”無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}”（上記）だ
（これを述べる。また部分点が貰える）
あとは、スタートからゴールへの道筋を述べるべし（＾＾

331(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/04(月)12:05 ID:rSgE8B7A(5/12) AAS
>>314 補足
(引用開始)
１）>>271の数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大 (2014年) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
(引用終り)

この数理論理学ＩＩ坪井明人筑波大からの引用部分で

a)ω を条件　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい
b)無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

ωは、もちろん >>271より "自然数全体の集合 ω を {∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい"
ってことなのですが

前者a)では、ZFCでは ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) を直接集合として定義することを許さない
（ZFCでは、集合を作る方法を厳しく制限しているから。その制限によってラッセルパラドックスを防止するのです外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org ）

後者b)では、一旦無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び ωは、その部分集合として取り出される
こういう一手間を入れることで、集合を作る方法を制限して出来る無限集合をコントロールしているってことですね

追記
後者b)で無限集合 X を記号Aに書き直すとより分かり易いだろう
つまり
”無限公理によって保証される無限集合 A を一つ選び，
　ω = {y ∈ A : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん A の取り方に依存しない）．”
です。慣れれば、X のままでも分かるが、なれないと大文字Xと小文字x で目がチカチカしますよね　（＾＾

499(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/11(月)15:40 ID:f34iaqr/(4/7) AAS
>>497-498
>well-definedではないZFCGを使うんだったら

ふっふ、ほっほ
妄想のお二人基礎論ど素人さんｗ

『well-definedではないZFCG』？
まず、下記の薄葉季路（早大理工） 2017春
最後から２枚目と最後とをみてちょ

21世紀のいまどきの基礎論宇宙の話が分かるから
分からない人は、薄葉季路先生に聞いてくださいね

基礎論ど素人さんが、妄想でグダグダ言ってもねｗ；ｐ）

そもそも下記のIUT IVの Bibliography [McLn] を否定するつもりかい？
ならば、論文かきなよ『[McLn]は間違いだぁー』ってよｗ　（＾＾

(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathsoc.jp
日本数学会
数学基礎論および歴史分科会特別講演
2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工）集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathsoc.jp
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— 薄葉季路 (早大理工) 2017年3月
動画ﾘﾝｸ[YouTube]

発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.mathsoc.jp

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
We shall refer to such models as ZFC-models. Recall that a (Grothendieck) universe V is a set satisfying the following axioms [cf. [McLn], p. 194]:
略
We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model.

Bibliography
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

520(4): 08/11(月)21:57 ID:MtMWibfm(13/18) AAS
>>519
倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

521(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/11(月)22:44 ID:iGLBvSqQ(4/7) AAS
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

面白い！
いま、google検索したら
AIの回答が下記！！（記念にしっかり貼っておこうｗ）
君は、AIなみに賢いぞぉ！！！ｗ　；ｐ）

<google検索：実数の整列順序整列定理>
AI による概要(AI の回答には間違いが含まれている場合があります)
実数全体の集合は、整列順序を入れることができません。整列順序とは、任意の非空な部分集合が最小元を持つような全順序のことです。実数全体を全順序で並べたとき、任意の非空な部分集合に最小元が存在するように順序を入れることは、公理的に不可能です。これは、実数の連続性や完備性に関わる性質であり、実数の順序は整列順序とは異なる性質を持つためです。
詳細:
整列順序:
全順序集合において、任意の非空な部分集合が最小元を持つ場合、その全順序を整列順序と呼びます。例えば、自然数全体の集合は、通常の大小関係で整列順序となります。これは、どの非空な部分集合にも必ず最小の自然数が存在するからです。
実数の連続性:
実数全体は、連続な集合であり、任意の2つの実数の間に別の実数が存在する性質を持ちます。この連続性のため、実数全体を整列順序で並べると、部分集合の最小元が存在しない場合が生じてしまいます。
整列定理:
選択公理を仮定すると、任意の集合は整列順序を入れることができる、という定理です。しかし、この定理は、実数全体のような特定の集合に適用されるわけではありません。実数全体には、選択公理を仮定しても、整列順序を入れることができません。
例:
実数の区間を考えてみましょう。この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
まとめ:
実数全体は、整列順序を入れることができない集合です。これは、実数の連続性という性質によるものであり、整列定理とは異なる概念です。

571(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/12(火)06:36 ID:Wz/RxMvE(1) AAS
>>568-569
(引用開始)
＞例:
＞実数の区間を考えてみましょう。
＞この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。
＞このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
上記は「実数の順序が整列順序でない」ことを示すのみであって、
実数全体の集合に、実数の順序と異なる整列順序をいれることができない、
という主張の証明ではない。
選択公理により、実数全体の集合の、空でない部分集合に対して、その代表元を選択する関数が存在する。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ、それな
下記
　>>509
>なにおまえ　たてつく気？
>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

とほざいていた ID:MtMWibfm くんに言ってあげてねｗ
なお、>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工）集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.mathsoc.jp
における Multiverseの視点からは

１）フルパワー選択公理を持つ ZFC公理系内では実数の整列順序は、存在する
　このとき、人は可能な限りの任意の整列順序を示すことが可能
　例えば、先頭に好きなr1,r2,r3,・・と並べて残りを選択公理にお任せとか
　あるいは、任意の途中に上記のr1,r2,r3,・・と並べて残りを選択公理にお任せとか
　最初に有理数のみを整列させてその後に無理数の集合を整列させるとか
　それらを、何度でも繰り返して良い
２）別の宇宙でフルパワー選択公理を否定して
　例えば、可算選択公理に制限したら？
　そのときは、実数を整列させることは不可能だ

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
選択公理
選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
・可算選択公理

・従属選択公理
など

579(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/12(火)10:29 ID:aPIgSDun(1/9) AAS
>>573-576
ふっふ、ほっほ
分かってないね

１）実数Rの整列において、人は思いつく限り、想像できる限り、能力の限りの勝手気ままが可能だよ
　例えば、区間[0,1)の実数を整列させ、次に区間[1,2)の実数を整列させ、残りはお任せとか
　あるいは、自分の知る限りのri∈Rをすきに整列させ、残りはお任せとか
２）この ”勝手気まま”の部分は、人の数学能力による制約であって
　未来の人類の数学能力が上がれば勝手気ままの範囲はどんどん広くなるんだ
３）すべてを ”勝手気まま”にできないのは、結局は人の数学的能力の制限から来る
　例えば、実数r∈R を具体的に構成できないのだし
　やっていることは、コーシー列とかデデキント切断とか
　抽象的なことであって、全く具体的ではないよね
４）例えば、下記超越数
　”円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”
　こような様（ざま）では、有理数でさえ具体的な整列は不可能
　∵ 有理数の集合Qが構成的でないから、e+π,e-π,eπ を整列に含めるか否かが決まらない！
５）だから、現状で人類の数学能力を超えた部分が出てくるのでそこは公理を置くしかない
　公理を設定して先に進むしかないのだよ。それが数学公理の意味なのさｗｗ　；ｐ）

追伸
自然数Nの中の小さな集合
素数の集合でも同じことがおきている
つまり、素数を 2,3,5,7,11,・・・とこれを可算無限個全部列記し整列する能力があれば
リーマン予想は解決できるだろうｗｗ
なぜならば、リーマン予想は素数の分布と密接に結びついているよｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e-π,eπ・・・などの円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない

610(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/13(水)16:30 ID:ZWqlQsZq(2/3) AAS
>>609
踏みつけたゴキブリが、うごめいているｗ
踏みつけられて悔しいか？ｗｗ　；ｐ）

１）「選択公理」は、整列可能定理と等価だという（ja.wikipedia）
　”どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである”
　任意無限集合Aにおいて、ある元a1を取出し残りをA1とする。次に A1から元a2を取出し残りをA2とする。これを可算or非可算任意の無限繰返せる
　取り出した a1,a2,・・を可算or非可算任意の無限繰返せば、全ての元の整列ができる
　略証はこんな感じだ
　本格的な証明は en.wikipedia ”Well-order”と”Zorn's lemma implies the axiom of choice”を百回音読せよｗ
２）さて、任意無限集合Aで人は好きに（任意に）元 a1,a2,・・を取り出して並べていい
　集合Aで残りの部分に、整列可能定理を適用すればそれで済む、それで集合Aの整列になる
３）>>601 ポール・コーエンの証明は、選択公理ではない（下記のja.wikipedia 選択公理歴史を百回音読せよｗ）
　コーエンの証明は、連続体仮説についてだよ（下記のja.wikipedia 連続体仮説歴史を百回音読せよｗｗ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
選択公理
選択公理（英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
平行線公準以来、もっとも議論された公理である[2]
選択公理と等価な命題
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
略
応用
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
全ての体には代数的閉包が存在する。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウム（英語版）とアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した

つづく

612(3): 08/13(水)18:13 ID:C2xh/shi(2/7) AAS
>>610
>任意無限集合Aにおいて、ある元a1を取出し残りをA1とする。次に A1から元a2を取出し残りをA2とする。これを可算or非可算任意の無限繰返せる
はい、大間違いです。
なぜなら無限回の繰り返しは決して完了しないので。
正しくは「選択関数f:2^A-{}→Aを使えば順序数全体のクラスの適当な部分クラスからAへの全単射 aα= f(A-{aξ|ξ<α}) が定義できる」です。
君、整列可能定理の証明を未だに分かってなかったんだね。

>本格的な証明は en.wikipedia ”Well-order”と”Zorn's lemma implies the axiom of choice”を百回音読せよｗ
「本格的な」を付ければ自分が分かってないことへの免罪符になると思った？姑息だね。

>２）さて、任意無限集合Aで人は好きに（任意に）元 a1,a2,・・を取り出して並べていい
>　集合Aで残りの部分に、整列可能定理を適用すればそれで済む、それで集合Aの整列になる
はい、大間違いです。
それで整列順序の存在は言えるが構成は一般にできない。
当然だ。選択公理を仮定したとき選択関数の存在は言えるが構成は一般にできないのだから。
よって君の持論「Rの元すべてを好きな順序で整列できる」は一切正当化されない。
まだ分かってなくて草。

>３）>>601 ポール・コーエンの証明は、選択公理ではない（下記のja.wikipedia 選択公理歴史を百回音読せよｗ）
>　コーエンの証明は、連続体仮説についてだよ（下記のja.wikipedia 連続体仮説歴史を百回音読せよｗｗ）
はい、大間違いです。
が、>>601は私ではないので多くは語るまい。

君、口を開けば間違いだらけだね。なんでそんなに恥知らずなの？少しは恥を知った方が良いと思うよ

627(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/13(水)22:22 ID:w78+kS3p(2/4) AAS
>>626
(引用開始)
>グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
>それは、当然無限集合に対する操作であったり無限の繰り返しであったりしたわけだ
無限回の繰り返しの例を示して。
ちなみに無限級数は無限回の足し算でないことは理解してる？
(引用終り)

すでに、>>610で「選択公理」と整列可能定理でしました
なお、関連で Georg Cantor en.wikipedia を引用しておく
ZFCより前の代の話だ
ZFCは、これら（Cantorやデデキントや、リーマンやコーシーら）の数学を公理化したもの
ついでに、ヒルベルトの無限ホテルを引用しておくよ（『その手順を無限に繰り返せることを示す』）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Georg Cantor
Cantor established the importance of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are more numerous than the natural numbers. Cantor's method of proof of this theorem implies the existence of an infinity of infinities.
Mathematical work
(google訳)
絶対無限、整列定理、そしてパラドックス
1883年、カントルは無限を超限と絶対の二つに分けた。[ 60 ]
超限は大きさを増加させることができるが、絶対は増加できない。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。
一方、順序数は絶対的に無限の列を形成し、それより大きな順序数が存在しないため、大きさを増加させることはできない。[ 61 ]
1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理を提唱し、これを「思考の法則」であると述べた。[ 62 ]

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
無限個の客室があるホテルは「満室」でも（無限人の）新たな客を泊めることができ、その手順を無限に繰り返せることを示す。
パラドックスの内容
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
以下略す

649(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/14(木)17:29 ID:1dI79/KQ(8/8) AAS
>>647-648
ふっふ、ほっほ

ID:/DikW1nE君と ID:wLpg/jrm君とか
下記『君たちはどう生きるか』という映画や本やコミックがあるそうな
スタジオジブリ版は、太平洋戦争中の話にしたらしい
そういえば、明日8月15日は終戦の日だ

で、お二人は数学科でオチコボレさんか？ｗ　（＾＾
人のことが気になって気になって仕方ないらしいなｗ
きっと不遇なんだろうね
必死で、人にマウントしたいんだね
下衆な根性がまるわかりだよｗ

ここはさ、IUTスレなんであって
IUTについて語るべきところ
君たちは語るべき何もないオチコボレさんｗｗ　；ｐ）
あわれだねｗｗｗ
下記の『君たちはどう生きるか』を百回音読してねｗ

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
君たちはどう生きるか (映画)
『君たちはどう生きるか』（英語: The Boy and the Heron）は、2023年7月14日に公開されたスタジオジブリ制作[注釈 1]の日本のアニメーション映画。宮崎駿の原作・脚本・監督による冒険活劇ファンタジーで[5]、宮崎の長編監督作としては2013年公開の『風立ちぬ』以来10年ぶりの作品となる。タイトルは、吉野源三郎の同名小説『君たちはどう生きるか』に由来しており、原作ではないが同小説が主人公にとって大きな意味を持つ[6]。
太平洋戦争中、母親の死をきっかけに田舎に疎開した眞人という少年が、新居の近くで廃墟となった塔を発見し、人間の言葉を話す謎の青サギと出会い、彼と共に幻想的な「下の世界」へと足を踏み入れるストーリー。
2023年9月に開催された北米最大の映画祭である第48回トロント国際映画祭で日本映画史上初となるオープニング作品となり、観客賞の次点第2位となる。翌年にはゴールデングローブ賞と英国アカデミー賞で日本映画史上初となるアニメ映画賞を連続して受賞し、日本時間で2024年3月11日[注釈 2]に授賞式が行われた第96回アカデミー賞で、日本映画としては『千と千尋の神隠し』以来21年ぶりとなる[7]アカデミー長編アニメ映画賞を受賞した。

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
君たちはどう生きるか
『君たちはどう生きるか』は、1937年初出版の吉野源三郎による日本の小説。コペルというあだ名の15歳の少年・本田潤一とその叔父が、精神的な成長、貧困、人間としての総合的な体験と向き合う姿を描く。
当初『日本少国民文庫』第5巻として編纂代表の山本有三自身が執筆する予定であったが、病身のため代わって吉野が筆をとることになったとされる[3]。初刊は1937年に新潮社で出版、戦後になって語彙を平易にするなどの変更が加えられ、ポプラ社や岩波書店で出版された[4]。新潮社版も度々改版され長年重版した。
児童文学の形をとった教養教育の古典としても知られる[5]。
2017年には羽賀翔一による漫画化『漫画君たちはどう生きるか』がマガジンハウスから出版され、2018年3月には累計200万部を突破した[6]。

663(7): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/14(木)20:16 ID:2VGqjZuN(2/2) AAS
>>633
>無限回の繰り返しが完了するなら矛盾だから完了しない。完了しない繰り返しはwell-definedでない。

やれやれ、古代ギリシャの"無限"議論で時計が止まっているよ数学科オチコボレさんは
”ゼノンのパラドックスアキレスと亀”(下記)から進歩していないね
（当然ながら、古代ギリシャでは無限についての理解は不十分だった）

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるからハッキリさせておくが
下記の重川一郎確率論基礎 P7 サイコロ投げの場合の確率空間を見てね
これは京都大学での数学の講義だ
P6 ”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”とあるよね
ここでのサイコロ投げは当然可算無限回であって下記の重川の定義は有限ではない！！
だって、京都大学だものｗｗ　；ｐ）
まあ、数学科オチコボレさんにはこれは理解できないよねｗ
（「箱入り無数目」スレでのトンチンカン振りをみればそれがよく分るｗｗ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ゼノンのパラドックス
アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.kyoto-u.ac.jp
重川一郎
講義ノート
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.kyoto-u.ac.jp
確率論基礎
重川一郎平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では加算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

685(3): 08/16(土)11:18 ID:r4GwHs6E(1/2) AAS
望月先生に粘着嫌がらせ書き込んでるのって反日サイコパスだけなんだな

688(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/16(土)14:15 ID:psDSFTci(6/9) AAS
>>683
>「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」
>「演算」とは集合の合併∪と交叉∩を指す。
>「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」に対する反例としてσ集合体を持ち出すのはまったくトンチンカン。

ゴキブリくんは、そういう粗雑な頭だから数学科のオチコボレさんなのだｗ
そもそも

１）例えば下記古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが十分理解できていないから
　パラドックスに見えたが、現代数学の視点からは幾通りかの数学的な解が可能
　その一つが、無限回の演算を認めることだ
　つまり、『アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）』
　これを無限回繰り返して良いとすればパラドックスに見えたがその実”無限回の演算”について
　例えば極限として定義すれば良いだけのこと（これは 21世紀ではほんの一つの解釈にすぎない）
２）つまりは、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」は古代ギリシャ時代の話だ
　これ対する反例は、21世紀現代数学ではいくらでもある
　単に一つの反例が上記の極限と解釈する方法だし
　あるいは、上記の「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」の話だ
　測度論による確率で σ集合体を使うと無限回のコイン投げやサイコロ投げの確率を扱える
　つまり、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」の反例の一つだ
３）他にもいろいろあるが例えば下記のオイラー積がある
　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
　左辺をディリクレ級数、右辺を無限積としてもしディリクレ級数が有限和であったり
　あるいは無限積が有限で打ち切られたら？有限演算限定では左辺＝右辺の等号は不成立！■
　（なお、これがリーマン予想に直結することはご存知の通り（下記小山））

(参考)>>663より
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オイラー積（英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ

外部ﾘﾝｸ[pdf]:researchmap.jp
深リーマン予想 researchmap 小山信也 2019 数理科学
— ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領. 域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，そ. の予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書 4). を著した

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