Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (818ﾚｽ)
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801(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)14:08 ID:6UaSw7YM(1/5) AAS
ホイヨ
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(元)浪人生
大学数学基礎
ディリクレ積分類似の積分と級数の一致について 250817
予想
1以上の自然数kに対して、
∫ -∞〜+∞ {(sin x)/x}^k dx= Σ n=-∞〜+∞ {(sin x)/x}^k
が成り立つ。
上の予想は K=1,2,3,4,5,6 までしか成り立たず、
K >6では
左辺は依然(有理数)πの形になる一方で、
右辺はπのべき乗の線形結合となります。
参考文献に乗せた論文では、類似のsinc の積で表される総和と積分との一致についてより詳しく研究されているので、ぜひ読んでみてください。
参考文献
[1]Baillie, R., Borwein, D., & Borwein, J. M. , Surprising Sinc Sums and Integrals., The American Mathematical Monthly, 2007
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Sinc function
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
sinc関数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ディリクレ積分
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx
これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, there are several integrals known as the Dirichlet integral, after the German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet, one of which is the improper integral of the sinc function over the positive real number line.
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx = π/2
This integral is not absolutely convergent, meaning
|(sin x)/x| has an infinite Lebesgue or Riemann improper integral over the positive real line,
so the sinc function is not Lebesgue integrable over the positive real line. The sinc function is,
however, integrable in the sense of the improper Riemann integral or the generalized Riemann or Henstock–Kurzweil integral.[1][2] This can be seen by using Dirichlet's test for improper integrals.
803(1): 08/19(火)15:18 ID:0Rl6AIyy(4/8) AAS
>>801
それが何？
>>802
>√2 が、無限連分数になることを 否定したいのか？
誰がそんなこと言ったの？ また幻聴？
君、無限連分数は無限回の割り算と思ってるでしょ。
はい、大間違いです。
下記の通り、無限連分数は有限部分連分数の列の極限です。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。
[a0;a1,a2,a3,…]=lim[n→∞][a0;a1,a2,a3,…,an]
あらら、無限級数、無限乗積に続いてまた同じような間違いやらかしちゃったね 赤っ恥だね
>現代数学は、ジョン・ウォリス以降の多数の数学者の無限に対する研究を 包含し発展した
>そして いま 21世紀に至る
>その営みの中で、数学的な無限操作について 21世紀の数学において 十分消化吸収され 認められていることは多いよ
>無限連分数展開も その一つだ
なんか達観したようなことほざいてるけど、初歩の初歩から間違ってるから。
808: 08/19(火)16:29 ID:lCs39xn9(1/4) AAS
>>801
＞ホイヨ
モンゴル語？（笑）
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