Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (818ﾚｽ)
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791(2): 08/19(火)08:11 ID:4LF+N/nt(1) AAS
>オイラーは、無限級数の天才手品師であり、その名人だったという
>彼は、無限級数を扱って その収束は直観で分っていたらしいと だれかが書いていたね
そうですね
無限級数は有限和の極限ですね
オイラーどころか、はるか以前から
条件収束級数を考えてきてるわけで
数学者が無限級数を極限として捉えてきたのは当然でしょう
無限項の和とか言っている御仁は以下のような
無限級数をどのように正当化するのでしょうか？
（当人のレベルでは質問の意味すら分からないと思います）
ニュートン＝メルカトル級数
Σ_[n=0]^∞ (-1)^n/(n+1) = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-… = log 2
ライプニッツの公式
Σ_[n=0]^∞ (-1)^n/(2n+1) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-… = π/4
797: 08/19(火)09:30 ID:iqfU8/Ct(1) AAS
>>791
>無限項の和とか言っている御仁は以下のような
>無限級数をどのように正当化するのでしょうか？
>（当人のレベルでは質問の意味すら分からないと思います）
>ニュートン＝メルカトル級数
>Σ_[n=0]^∞ (-1)^n/(n+1) = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-… = log 2
>ライプニッツの公式
>Σ_[n=0]^∞ (-1)^n/(2n+1) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-… = π/4
>>795で述べたが、
実は上記の数列は絶対収束しないので、順序を入れ替えることで、
それぞれlog 2やπ/4以外の任意の値に収束させることができる
（いっとくが、有限個の入れ替えでは変化しないので、
当然無限個いっぺんに入れ替える）
もし単純に無限個の和だというなら、どう入れ替えようが値は変わらないだろう
しかしそうならないのだから、無限個の和ではないということは明らかである
極限の定義に基づいて考えることが大学数学の基本
これを蔑ろにする高卒◆yH25M02vWFhPが、
大学１年の一般教養の微分積分で落第するのは当然のこと
こんな奴を技術者としてやとった会社は
不良製品を製造して破産するだろ（笑）
805(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)15:39 ID:6UaSw7YM(3/5) AAS
>>791
(引用開始)
オイラーどころか、はるか以前から
条件収束級数を考えてきてるわけで
数学者が無限級数を極限として捉えてきたのは当然でしょう
無限項の和とか言っている御仁は以下のような
無限級数をどのように正当化するのでしょうか？
（当人のレベルでは質問の意味すら分からないと思います）
(引用終り)
ご苦労様です
条件収束級数 vs 絶対収束級数 （下記の高校数学の美しい物語）
ね。高校での話を思い出しました
さて、いまの議論は、数学では無限の操作は許されないかどうかということだった
で、オチコボレさんたちは、数学では”無限の操作は終わらないから 許されない”ｗという
一方私は、多分 ウォリスやニュートン、リーマンの時代までは、結構 無限の操作を許容していたし
カントールも 無限の操作を許容していたろう と思いますよ
一方で、ラッセルパラドックスなどで 無限操作を無批判に許容するとまずいとなって
出来るだけ抑制すべきという時代が 20世紀中ころまであった
その後、また数学の発展があって（超準解析とかね）
21世紀の数学では、無限大や無限小を含めて けっこう無限操作を許す範囲が広がっている
上記の条件収束級数の話においては、下記の高校数学の美しい物語にあるとおりですよ
話は逆で 絶対収束する場合は、無限級数を 無限項の和 と考えてもいい
かまわない場合があるってことですね （「無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える」下記）
高校での数学の話を思い出しましたよ （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語
絶対収束と条件収束の意味と具体例
2022/10/01
無限級数の絶対収束と条件収束について整理しました。絶対収束なら収束することの証明，絶対収束するとなぜ嬉しいのかを解説します。
注：絶対収束・条件収束は「数列」に対する議論です。一方，各点収束・一様収束は「関数列」に対する議論です。→各点収束と一様収束の違いと具体例
目次
絶対収束，条件収束の定義
具体例
絶対収束すれば収束
絶対収束だとなぜ嬉しいのか
絶対収束だとなぜ嬉しいのか
無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える。
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