Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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64(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/28(月)21:10 ID:DgNswCrs(1) AAS
>>63
ゴキブリくんは、あたま悪いなｗ　；ｐ）

下記の
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない

繰り返すが
ZF公理系では両者は全く別物だよ

わかんねーだろうな
ゴキブリあたまじゃねｗ　；ｐ）

(参考)
１）
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ufcpp.net
Copyright Nobuyuki Iwanaga since 2000 ++C++; // 未確認飛行 C について
自然数
TOP [数学・物理] 数学 [集合論] 自然数
自然数の定義
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、以下のような集合 a^ を作ります。
a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}
P (a) は a の「冪集合」です。すなわち、a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a^ の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a^
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
略す

２）
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである

66(1): 07/28(月)21:44 ID:0TeRvI4n(6/7) AAS
おっと、アンかミスった。>>64の雑談とかいう無教養なチンピラへのレス、ね。

69(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/29(火)12:08 ID:0DBEJBDg(1/2) AAS
>>65-68
ゴキブリくん、元気だね
ゴキブリくんは、道端に落ちていた >>64の ja.wikipedia
”ペアノの公理自然数の集合論的構成
　 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} ”外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
にえらくご執心だが
ja.wikipedia なんてだれが書いたか不明で転記ミスもあるかもｗ
そういう道端のワケワカの式を鵜呑みにするクセは直した方がいいぞｗ；ｐ）

さて、>>64より下記を再録する
１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ

この二つが、外延性の公理で同じ？
それ妄想でしょ？
１）記号∩（集合積）の意味は、集合族が確定しないと確定しない
２）上記１）のa^は、 a の「冪集合」における無限集合だという
　だから、aが可算無限だとして冪 P(a)は非可算で
　ωa ＝ ∩a^ は、非可算の族の積
３）一方、集合族{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}とは？
　これは冪集合公理を使っていないから非可算の族ではないよね
（∵冪集合公理を使わずに非可算の族が出せならば、冪集合公理は不要になる！）
４）だから、両者は異なる

そもそも、記号∩がまずくないか？
下記のja.wikipedia 無限公理の”無限集合Iから自然数を抽出する”を
だれかが書いてくれたみたい（ありがとうございます）
ここで、『おおざっぱに言うとすべての帰納的な集合の共通部分をとりたいわけである』とある
日常語では、そうなのだが、これを公理的集合論の言葉に直さないといけないんだ
それが下記だね

ついでに、ja.wikipedia 順序数を引用しておいた
無限公理とは、下記順序数の
”ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .....”の部分
の存在を主張しているのだ（そうは書いていないが、こころはそうなのです）
『すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しい』から
ω⊂ S(ω)⊂ S(S(ω))⊂ S(S(S(ω)))⊂ .....
となる
例えば S(ω)＝ω ∪ { ω }などとなっているから
だから
ω：＝ω∩ S(ω)∩ S(S(ω))∩ S(S(S(ω)))∩ .....
は、結論としては正しい！
しかし、公理的集合論として一歩一歩進めて自然数集合N=ωを構築しようするときに
上記記号∩を使う議論は、結論の先取りになる
だから、ja.wikipedia 無限公理の”無限集合Iから自然数を抽出する”では
正式の公理的集合論の記述としては記号∩の使用は避けていると思うよ■

つづく

75(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/29(火)20:29 ID:7CXjMyGa(1/2) AAS
>>71-74
ゴキブリくん、元気だね
ゴキブリくんは、道端に落ちていた >>64の ja.wikipedia
”ペアノの公理自然数の集合論的構成
　 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} ”外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
にえらくご執心だが
ja.wikipedia なんてだれが書いたか不明で転記ミスもあるかもｗ
そういう道端のワケワカの式を鵜呑みにするクセは直した方がいいぞｗ；ｐ）

１）下記、Terence Tao “post-rigorous”→ “big picture”（囲碁では、大局観）
　以前の日本の数学科では軽視されてきたが
　数学にAIの波が押し寄せているいま、今後は重要視されるだろう
２）この視点から説明すると
　・1800年代末にカントールやデデキントが素朴集合論を創始した
　　↓
　・ラッセルのパラドックスが出て、その解決法が検討された（原因は、無制限な集合概念の拡大だった）
　　↓
　・公理的集合論では、無制限な集合概念の拡大を止め公理により抑制するのです
　　↓
　・無制限な集合概念の拡大の公理による抑制の一つが、無限公理でありまた冪集合公理なのだ
　　↓
　a)素朴集合論では自然数N＝{0,1,2,・・・}だが、公理的集合論ではまずNを含む無限公理Iを認め分出公理を使ってその部分集合としてNを作るのです
　b)冪集合公理も同様。無制限の集合は認めない。が、冪集合公理を作って可算無限の冪集合で非可算を作ることは認めるのです
３）つまりは、無限公理が無くば無限集合なく、また冪集合公理が無くば非可算無限もないのです

この Terence Tao “big picture”（囲碁では大局観）が
分らないオチコボレさんが居るのですねｗｗｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:terrytao.wordpress.com
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.

つづく

97(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/31(木)07:14 ID:ZOjwMpAx(1/6) AAS
>>92
>>>90-91で引用されている内容って、>>77（の前半）と別に矛盾しないのでは。

ありがとう

矛盾はしないとしても
ポイントは、>>91 尾畑研第2章集合
"ラッセルのパラドックスは集合論の矛盾を突いているように見えるが
今日から見れば何が集合であり何が集合でないのかを設定し切れていなかったということである
厳密を旨とする現代数学では一群の公理系を設定して
それのみを用いて論理的に導き出された結果を集積することで
理論が構築される
集合論も例外ではなくパラドックス解消の努力の中で集合の定義(公理)が明確
化されて公理的集合論が構築された結局ラッセルのパラドックスを引き起こすは集合とは認めないこととなった"
ということ

この視点から >>64の
『１）の ωa ＝ ∩a^、 a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、P (a) は a の「冪集合」、「x は無限集合である」という命題を M(x)
これと
２）の N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}、Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだ
この二つは、ZF公理系では全く別物だよ
つまり、前者は冪集合公理 P(a)を適用しているが
後者は、冪集合公理を適用していない』
を見ると

いまの場合 aもAもどちらも無限公理により存在する集合を任意に選んだのだが
公理的集合論の中では、適用する公理によって、作られる集合は当然異なるってことだね
繰り返すが、ここは重要ポイントです

さらに付言しておくが
ZFC公理系で最初に定義される無限集合の最小集合たる自然数の集合N=ωで
どういう公理を使って、N=ωが定義されるかを
明示的に示すことは、非常に重要なのです

無限公理外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
「無限集合Iから自然数を抽出する」
では、無限集合Iから直接分出公理を使って Iの部分集合として
帰納的集合たる自然数のN={0,1,2,,・・・} を抽出する

また、ここ ja.wikipediaから、下記の英仏独のwikipediaを辿れる
英wikipedia 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
仏wikipedia 外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
独wikipedia 外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org

いずれも、無限集合から直接分出公理を使ってその部分集合として
自然数の集合を抽出しています

さて、記号∩を使うことを、ZFC公理から批判すると
使っている公理を明示的に示すことにおいて、劣るということ
分出公理を使って直接部分集合として自然数の集合を抽出できるのに
わざわざ記号∩を使うの？なんかヘンですよね
しかも、唐突に∩。どの公理から従うかを明示せずに

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