Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (875ﾚｽ)
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271: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/03(日) 23:30:05.31 ID:NbGdsnnL

>>265
やれやれ
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているね　；ｐ）

さて、私は ド素人が この5ｃｈ便所板に書き散らす バカ証明を読むのが嫌いなんだよ
というのは、ド素人が書き散らす証明は、きっとどこかで滑っているからなのだが
（つまり、ド素人が書き散らす証明を読むのは、赤ペン先生をするのと同義になるからねｗ ；ｐ）

さて、ゴキブリくんの >>265 と 下記の坪井 明人 筑波大 の講義PDFとを
対比するのが分かり易い

<赤ペン先生>
１）まず、>>265では無限公理を謳っていないのがダメ
２）”{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]を満たす集合xを帰納的集合と呼び”がダメ
　（∵ZFC公理内では、帰納的集合を直接生成できない。下記の de.wikipedia ”Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. ”の通り）
３）後の記述は、ゴミだなｗ　；ｐ）
　なお、下記の坪井明人 筑波大にあるように、坪井先生は記号∩を使わずに 処理している（百回音読してねｗ）

(参考)
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋 坪井明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年)
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎 5
1.1 集合論の公理 . . . . . 5
1.1.9 無限公理 . .  . . 8

Ｐ8
1.1.9 無限公理
集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
S は，successor の頭文字で，次の元という意味を持たせている．
無限公理：
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . をすべて元として含む集合である．
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }
として定義したい．
しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い 1．
（注1：ω = {Sn(∅) : n ∈ N} とすると，「. . . 」を回避できているように見えるが，
　N 自体がまだ定義されていないので，これでは定義できていない．）
そこで ω を条件
∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
とする．
ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/271

314: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 07:01:53.33 ID:IiqX04eZ

>>296-301
踏みつけたゴキブリが、まだ動いているｗ　；ｐ）
グダラ グダラと愚にもつかぬ言い訳を・・ｗｗ

１）>>271の 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　と対比してみれば、その誤りは 一目瞭然だ
２）分かり易く 院試の口頭試問で「ZFCで 自然数Nの存在を証明してください」と言われたとしよう
　まず最初にやることは、無限公理のステートメントを述べることだ
　”無限公理：
　∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
　x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に属している．
　そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．”
３）　ここから、”しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
　{∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい．”
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
　QED

さて
禁句は、「自然数Nの存在は自明だから証明不要」だね（＾＾
採点側からは「カチンと来た。こいつダメ！（マイナス判定ｗ）」だろう

さらに、”無限公理”に触れないやつも ダメ
ZFCでなぜ無限公理が置かれているのか 理解できていないと判断される
（ZFCでは、無制限に集合を作ることは許されない。無限公理なしでは、無限集合ができない！）

もし、無限公理のステートメントをキチンと述べることができれば、それだけで部分点は貰えるだろう
無限公理のステートメントをスタートとして、ゴールは
”無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}”（上記）だ
（これを述べる。また 部分点が貰える）
あとは、スタートからゴールへの道筋を述べる べし （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/314

331: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/04(月) 12:05:25.03 ID:rSgE8B7A

>>314 補足
(引用開始)
１）>>271の 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 (2014年) https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
４）”そこで ω を条件
　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}
　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．”
(引用終り)

この 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 からの引用部分で

a)ω を条件 　∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
　を満たす最小の集合 x として定義したい
b)無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない）．

ωは、もちろん >>271より "自然数全体の集合 ω を {∅, S(∅), S2(∅), S3(∅), . . . }として定義したい"
ってことなのですが

前者a)では、ZFCでは ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) を直接集合として定義することを許さない
（ZFCでは、集合を作る方法を厳しく制限しているから。その制限によって ラッセルパラドックスを防止するのです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ）

後者b)では、一旦 無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び ωは、その部分集合として 取り出される
こういう 一手間を入れることで、集合を作る方法を制限して 出来る 無限集合をコントロールしているってことですね

追記
後者b)で 無限集合 X を 記号Aに書き直すとより分かり易いだろう
つまり
”無限公理によって保証される無限集合 A を一つ選び，
　ω = {y ∈ A : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　とする．
　ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．
　このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん A の取り方に依存しない）．”
です。慣れれば、X のままでも分かるが、なれないと大文字Xと 小文字x で目がチカチカしますよね　（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/331

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