Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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454(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)09:34 ID:f12p+Q2v(1/12) AAS
>>438 追加
さて、強制法でも宇宙が出てきます
図解があると分かり易い
それが、下記石井大海氏 Boole 値モデルと強制法pdfのP7
なお、下記 ”google AI による概要”も、ご参照

要するに、例えば連続体仮説が、ZFCから独立ということを証明したいときに
強制法を ZFCに適用することで、証明ができる
強制法とは、簡単には下記石井大海にあるように ZFCのノイマン宇宙Vを独立を証明したい命題のGを添加した新たな宇宙V[G]を作る手法
なので、出来る宇宙は Gによって異なる
だから、Grothendieck universe Uとは発想が全く異なる。多分出来上がる宇宙V[G]も Uからはみ出す

＜google検索：強制法図解＞
１）外部ﾘﾝｸ:konn-san.com
プロフィール konn-san.com 2011/04 早稲田大学基幹理工学部数学科配属
外部ﾘﾝｸ[pdf]:konn-san.com
Boole 値モデルと強制法石井大海2022/06/11
概要
集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と，密接に関連するBoole値モデルの手法について，本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます．また，Hamkinsら [1]の説明に基づいて，超冪とBoole値モデルの関係についても簡単に解説します．
1 強制法の基本的な考え方とBoole値モデル
　直観的には，現在の集合の宇宙V に新しい元Gを付加した，新たな宇宙V[G]を得たい，というのが強制法のモチヴェーションです．
しかし，そうはいっても集合の全体は既にV で確定しているので，「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません．
そこで，強制法では集合概念を拡張することを考えます．どういう事でしょうか？
まず，一般の集合x Vは，特性関数と同一視することで，部分関数x:V 2と見做すことが出来ます．
2というのは「各元がxに属すか？」という真偽値ですから，この真偽値を一般のBoole代数Bに一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです．このように，所属関係の真偽値を完備Boole代数Bに一般化した集合のことを，B-nameと呼びます．
P7
以上から，VBをV[G]と同一視して，あたかもV 上のジェネリックフィルターGが取れているかのように考えても差し支えないということがわかります．
このような見方の下で，V とV[G]は，右図のような形をしています．
(注：図は引用できないので、各自PDFの原図を見てください)

つづく

455: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)09:34 ID:f12p+Q2v(2/12) AAS
つづき

２）google AI による概要
(AI の回答には間違いが含まれている場合があります)
強制法（forcing）は、ZFC公理系におけるモデルの拡大手法の一つです。与えられたモデルMに対して、特定の半順序Pを定義し、その極限であるジェネリックフィルターGをMの外側から取ってきて、Mに付け加えることで、Mの拡大モデルM[G]を構成します。この手法は、特に連続体仮説などの独立性証明に用いられます。
強制法の基本的な考え方:
1. 半順序の定義:
強制法では、まず、ZFCのモデルMの中で定義される半順序Pを考えます。半順序Pは、Mの中で「条件」を表す集合として定義されます。
2. ジェネリックフィルター:
次に、Mの外側から、PのジェネリックフィルターGを一つ取ってきます。ジェネリックフィルターとは、Pの要素の「良い」部分集合で、Mの中では定義できないようなフィルターです。
3. モデルの拡大:
最後に、MとGを組み合わせて、Mの拡大モデルM[G]を構成します。M[G]は、Mの要素とGの要素を組み合わせた新しい集合で構成されます。
4. 独立性証明:
強制法を用いることで、ある命題がZFCで証明可能かどうか、あるいは反証可能かどうかを調べることができます。具体的には、ある命題が真となるM[G]を構成し、その命題がZFCから独立であることを示します。
図解:
強制法の図解は、言葉で説明するのが難しいですが、以下のようにイメージできます。
M (元のモデル):
これは、ZFC公理系で定義された集合全体の集合で、例えば自然数や実数などの基本的な集合を含んでいます。
P (半順序):
これは、Mの中で定義された「条件」の集合で、例えば「ある集合の要素数がn以上である」といった条件を表します。
G (ジェネリックフィルター):
これは、Pの要素の中から「良い」ものを集めたフィルターで、Mの外側から取ってきます。
M[G] (拡大モデル):
これは、Mの要素とGの要素を組み合わせた新しい集合の集合で、Mよりも「大きい」集合になります。
例:
連続体仮説 (CH) の独立性証明では、CHが真となるM[G]と、CHが偽となるM[G']をそれぞれ構成することで、CHがZFCから独立であることを示します。
参考資料:
強制公理とΩ-論理依岡輝幸静岡大 2009 外部ﾘﾝｸ[pdf]:shizuoka.repo.nii.ac.jp
連続体仮説 ja.wikipedia
補足:
強制法は、数学の中でも特に高度な概念であり、集合論の中でも非常に複雑な分野です。上記の説明はあくまで概要であり、詳細な説明は専門書や論文を参照する必要があります。

つづく

456(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)09:35 ID:f12p+Q2v(3/12) AAS
つづき

３）連続体仮説
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
歴史
1940年にクルト・ゲーデルは任意の ZF のモデルにおいて構成可能集合全体のクラス L が連続体仮説をみたすことを証明し、「ZFC からは連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。
さらに1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。
これらの結果から ZFC に連続体仮説を加えても、またはその否定を加えても矛盾は発生しないこと、つまり連続体仮説の ZFC からの独立性が示され、連続体仮説は解決を見た（これらの結果は全て ZF の無矛盾性を仮定している）。
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Continuum hypothesis
歴史(google訳)
クルト・ゲーデルは1940年に、連続体仮説の否定、すなわち中間的な濃度を持つ集合の存在は、標準的な集合論では証明できないことを証明した。[ 2 ]
連続体仮説の独立性の後半部分、すなわち中間的な大きさの集合が存在しないことが証明できないことは、1963年にポール・コーエンによって証明された。[ 4 ]
(引用終り)
以上

458: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)10:23 ID:f12p+Q2v(4/12) AAS
>>454 補足
さて、用語宇宙が、極めて混乱した状態であることを説明します
それが、下記の ja.wikipedia到達不能基数のグロタンディーク宇宙U
もう一つが、檜山正幸氏のグロタンディーク宇宙の二種類の説明

前者は、明らかにグロタンディーク宇宙U は、ZFCのノイマン宇宙Vより大きい
後者の檜山正幸氏のグロタンディーク宇宙二種類の説明は、SGAの1963年の論文がベース(多分)
望月IUTの”宇宙”も SGAの1963年の論文がベース(IUT論文では下記[McLn](1969)を引用している)

さて、グロタンディーク宇宙Uの意図は
下記”この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込みを持つ”
など、圏論を展開するのに便利なのです

いまどきの基礎論屋さんは、グロタンディーク宇宙Uはノイマン宇宙Vより大きいと思う
どっこい、檜山正幸氏にあるように元のグロタンディーク氏の発想はもっと素朴で
Vではクラスになって不便だから Uの中でのクラスを集合にしようと
だから、VのクラスはUの中で Vのクラスより大きいのです

が、望月先生はそういう細かい基礎論の話(クラスうんぬん)は、気にしていないようです
実際、その話は「グロタンディーク宇宙U ありま〜す！」と宣言さえすれば、どうでもいい話です
でも、中途半端に 21世紀における"クラス"と"宇宙"を知っている読者は混乱させられるというオチです

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
到達不能基数
到達不能基数による真クラスの存在性
ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom「任意の集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。」と同値である。
ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される（これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意）。
この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込みを持つということを証明するのに役立つ

つづく

459: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)10:23 ID:f12p+Q2v(5/12) AAS
つづき

外部ﾘﾝｸ:m-hiyama.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/20180406/1522992414
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2018-04-06
あなたはこの公理を信じますか
もう一度宇宙公理を述べますが、二種類に分けましょう。「ZFCの宇宙（ときに大宇宙と呼びます）のなかに、グロタンディーク宇宙（ときに小宇宙と呼びます）が少なくとも1つは存在する」という内容の命題をU（Univereseの'U'）とします。「いくらでも好きなだけグロタンディーク宇宙を取れる」という内容の命題のほうはMU（Multiple-Universe = Multiverse から）としましょう。
・[U 単一宇宙公理] ZFCの宇宙Vのなかにグロタンディーク宇宙Uが存在する。
・[MU 多宇宙公理] ZFCの宇宙Vの任意の集合x（x∈V）に対して、x∈U となるグロタンディーク宇宙Uが存在する。
宇宙公理（UにしろMUにしろ）を積極的に支持する気になれない／なれなかったのは、「あれば便利だ」以外に、「そうであるべき」理由が見つからないからです。でも、ここ二,三日で心境が変化して、「あれば便利だ」だけでも十分な理由のような気がしてきました。
ここは楽園か
ここから先のVは、ZFC+UまたはZFC+MUの宇宙とします。つまり、V内にグロタンディーク宇宙Uを取れます。通常の構成や議論はUのなかで行います。必要があれば、Uの外に出て、Uを外からいじってもかまいません。
Uの部分集合は、Uの観点からはクラスです -- U-クラスと呼びましょう。U-クラスが真クラス〈大きい集合〉のときもあるでしょう。しかし、Vから見れば、U-真クラスだろうが何だろうが単なる集合（小さい集合）で、U-クラスの全体Pow(U)もまた単なる集合です。U-クラスを集めたモノの全体Pow(Pow(U))だって単なる集合です。
何も気にすることなく、VのなかでUを操作できます。ZFC+MUを仮定するなら、なにか困ったことが起きてもUより上位の宇宙U'に移れば収拾できるでしょう。
まー、素敵。

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model.
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).
(引用終り)
以上

460: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)10:26 ID:f12p+Q2v(6/12) AAS
>>456 タイポ訂正

だから、VのクラスはUの中で Vのクラスより大きいのです
　↓
だから、VのクラスはUの中で VのクラスよりUが大きいのです

472: 08/10(日)19:40 ID:f12p+Q2v(7/12) AAS
>>471
ふっふ、ほっほ
スレ主です

夏のゴキブリは元気だな
踏みつけたのに、まだ動いている（＾＾；

　>>401のダジャレを解説するのもヤボだが
”くっさーｗ”は
１．草生える外部ﾘﾝｸ:dic.pixiv.net
２．くさい
のカケコトバなんだ；ｐ）

外部ﾘﾝｸ:www.weblio.jp
Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > デジタル大辞泉 > カケコトバの意味・解説
一つの言葉に同時に二つの意味をもたせる修辞法

473(1): 08/10(日)20:37 ID:f12p+Q2v(8/12) AAS
>>462
>正直このジャンルの話なら望月先生本人でも俺には勝てん
>なんでそれがわからんのじゃ？

基礎論くんかご苦労さまです
まあ日本には言論の自由がありますからね（＾＾
主張は自由だよ

>>463
>望月先生の基礎論がらみの知識はこのジャンル勉強してる院生のレベルにすらおそらく到達してない、それくらいありえないレベルのことを論文で書いてる、そしてprimisはそれを通してる、それくらいのデタラメワールドが展開してるんだよ

まあ、前半の「望月先生の基礎論がらみの知識はこのジャンル勉強してる院生のレベルにすらおそらく到達してない」
は、その成否は判断できない（望月先生のことを直接しらないから）
だが、”それくらいありえないレベルのことを論文で書いてる”
”そしてprimisはそれを通してる”
”それくらいのデタラメワールドが展開してるんだよ”
は、明らかに基礎論くんの妄想だろ？ｗ

>>466
>そのジャンルの話ではない略
略
>もう終わってる。

それ、君の妄想ワールドだね；ｐ）

474(1): 08/10(日)20:37 ID:f12p+Q2v(9/12) AAS
>>468
>もうちょっというならこの前だれかが望月先生のブログかなんかの文章でそういう要求を実行しないことの理由を「数百ページにわたる論文を記号論理に焼き直すのは大変」みたいなことをいってるらしい。

完全に妄想。君の脳内デンパ

>たとえば数学には“超準解析”とかいうちょっとかわった実数をあつかう理論体系がある。εδを回避しやすくする解析学らしい。過去一冊だけ超準解析をつかったFeynman積分の教科書というのを見かけたことがある。

それは、教科書ではないが、見た記憶がある
が、完全に成功していない・・というか Feynmanの経路積分はいまでも数学としては正当化できていない
が、Feynmanの経路積分の使い手が例のウィッテン氏（下記）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.mathsoc.jp
1990年 ICM-90--第43巻第1号(1991)から
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.mathsoc.jp
E. Witten 氏の業績II 深谷賢治
（ここに Witten 氏が Feynmanの経路積分でいろいろ数学の予想を出している話がある。フォントが埋め込まれていないかコピーが制限あるらしいので興味のある人は直接見てね）
ついでに
E. Witten 氏の業績I 江口　徹リンク省略
森重文氏の業績向井茂リンク省略
森重文氏隅広秀康リンク省略

475(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)20:38 ID:f12p+Q2v(10/12) AA×
>>470

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp

479: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/10(日)23:04 ID:f12p+Q2v(11/12) AAS
>>476-478

面白いやつらだなｗ　；ｐ）
スレ主です
そもそもこのIUT応援スレと
あっちの Inter-universal geometry とABC 予想58 スレ
2chｽﾚ:math
とで、棲み分けしてんじゃなかったか？うん？ふっふ、ほっほｗｗｗ　（＾＾

>深いとか表面的とかそういうトラッシュトークではなくIUTの言語が一義的でないことに反省の弁を述べるべき

ガッハハ
”IUTの言語が一義的でない”？
それ証明できる？
証明できるならば、論文書きなよ下記のChallenger Prize 100万ドル狙えるよ
まずは、arXive 投稿からな
arXive投稿できて日付がついて優先権が確保できたら教えてくれや
その”IUTの言語が一義的でない”の立証論文を読むからよｗ
そして、それが正しいならば『MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載』を狙いって投稿しなｗ
査読者には、論文が通って 100万ドルゲットしたら「半分渡す」と言え！通して貰える確率上がるからｗｗ
いや、そうでなくとも arXive投稿段階で証明が正しければ数学界でセンセーショナルの話題になるぜよｗｗｗ
まあ、ありえんけどねｗｗｗ

>脳内デンパってどういう意味じゃゴミ

google検索：脳内デンパってどういう意味？
元々は「頭の中に何者かからの声、思考、指示、妨害が電波で届く」と訴える人のことを指していた。
こういう被害妄想の症状を発する者（統合失調症かつての精神分裂症患者に多い）は、かつて電波が一般的でなかった時代は「動物」や「霊」によるものともされ、「狐憑き」などと呼ばれていた。
「電波系」の意味や使い方わかりやすく解説 Weblio辞書
外部ﾘﾝｸ:www.weblio.jp

(参考)
外部ﾘﾝｸ:zen.ac.jp
IUT Challenger Prizeの紹介
2023年7月、株式会社ドワンゴ創業者の川上量生氏は、個人としてIUT Challenger Prizeの創設を発表しました。
これは京都大学数理解析研究所教授の望月新一教授によって創始された宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-universal Teichmüller theory）の「本質的な欠陥」を明らかにした最初の論文に100万ドルを贈呈するというものです。
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたものに限ります。

481: 08/10(日)23:20 ID:f12p+Q2v(12/12) AAS
踏んづけてやったゴキブリくんが、うごめいている
くやしいのうｗｗｗくやしいのうｗｗｗ

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