Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (1002ﾚｽ)
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985(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:12 ID:KYsCHIBD(1/4) AAS
>>975-981
ありがとう
その無限小数の話は面白いね
下記の ja.wikipedia が、良く纏まっている
１）まず、無限小数展開の存在を認めるか否か？
２）無限小数展開の定義として
　a)いくらでも繰り返せるが、無限小数の存在を認めない（無限操作を認めない）
　b)無限小数の存在を認めるが（無限操作を認める）、”無限小”は導入しない
　c)無限小数の存在を認めるし、”無限小”も導入する

下記”算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている”
ですね
で、社会人レベルは上記１）,２）のa)〜c) は、立場の違い
というか、その場そのときで、適切に選んで良いということだね
牛刀を用いてニワトリを割くがごとくいつも牛刀を持ち出す必要は無い

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。
概要
一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。
0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学では最も一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈（有限小数の極限としての解釈）の下で式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。
算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法（この場合、0.999…）があることや、0.999… が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。
代数的な証明
分数による証明
1/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。
0.333・・・=1/3
3 ｘ 0.333・・・= 3 ｘ1/3 [1]
0.999・・・= 1

987(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:23 ID:KYsCHIBD(2/4) AAS
>>985 補足
>社会人レベルは上記１）,２）のa)〜c) は、立場の違い
>というか、その場そのときで、適切に選んで良いということだね
>牛刀を用いてニワトリを割くがごとくいつも牛刀を持ち出す必要は無い

下記の”無限公理独立性”
『無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する』
ですね

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。

無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
もちろん、フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラス
Vω
と要素関係は元のままの組である。このシステムに空集合の公理を含まないとすると(ZF+Infinityから導出できるので)、空な構造もまたZFC − Infinity + ¬Infinityを満たす。なぜなら、残りの公理はすべて全称量化されているため、集合が全くないときは明らかに成り立つ。

自然数全体の集合の濃度は、アレフ0(ℵ0)であり、巨大基数公理の多くを満たす。このため、無限公理はときおり最初の「巨大基数公理」とみなされる。逆に巨大基数公理は強い無限公理と呼ばれる[誰によって?]。

988: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)09:30 ID:KYsCHIBD(3/4) AAS
>>985 補足
>分数による証明
>/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。
>0.333・・・=1/3

有理数1/3 が、巡回小数表現を持つことは、小学生レベルだろう
だが、これを極限だのなんだのとグダグダしい説明をする必要はない！
それは、小学生向けのみならず大学生向けでも同じ

無限小数表現 1/3＝0.333・・・
この右辺は、無限小数と考えることは、無問題
極限を持ち出す必要はない

998: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/23(土)10:11 ID:KYsCHIBD(4/4) AAS
>>984
>カントールは有理数のコーシー列の同値類を実数と定義した
>つまり、
>収束先とかいう妄想を完全に排除した
>無限性とかいう妄想を完全に排除した

多分違うよ
あなたの受けた 1980年代の日本の数学科は、そういう厳密病の教育だった気がする
その後、数学も進歩してノンスタ（超準）などが出て、21世紀の数学は結構自由なのだとなった

さて、カントールは
無限小数展開を結構多用している気がする
一つは、下記カントール集合で無限三進展開を使う
もう一つは、カントールの対角線論法で無限二進数展開を使う

いずれの場合も
ここでは極限だの収束だのへったくれをいう必要なし！

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超準解析（英: nonstandard analysis）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
カントール集合（英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である
測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
カントールの対角線論法
自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い
[0, 1]区間の各元を
a1,a2,⋯と番号づけすることができたことになる。
aiを二進数展開したときのj桁目をai,jとし[注釈 2]、biを￢ai,iとする。
[0, 1]区間の元であるはずのbは
a1,a2,⋯のいずれとも異なるので、矛盾。従って
Nから[0, 1]区間への全単射は存在しない。
なお、n桁に対応する元は2^n個存在するが、対角線論法においてはn桁に対して元の数をn個として議論していることには注意が必要である。

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