Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (820ﾚｽ)
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801(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)14:08 ID:6UaSw7YM(1/5) AAS
ホイヨ
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
(元)浪人生
大学数学基礎
ディリクレ積分類似の積分と級数の一致について 250817
予想
1以上の自然数kに対して、
∫ -∞〜+∞ {(sin x)/x}^k dx= Σ n=-∞〜+∞ {(sin x)/x}^k
が成り立つ。
上の予想は K=1,2,3,4,5,6 までしか成り立たず、
K >6では
左辺は依然(有理数)πの形になる一方で、
右辺はπのべき乗の線形結合となります。
参考文献に乗せた論文では、類似のsinc の積で表される総和と積分との一致についてより詳しく研究されているので、ぜひ読んでみてください。
参考文献
[1]Baillie, R., Borwein, D., & Borwein, J. M. , Surprising Sinc Sums and Integrals., The American Mathematical Monthly, 2007
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Sinc function
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
sinc関数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ディリクレ積分
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx
これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, there are several integrals known as the Dirichlet integral, after the German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet, one of which is the improper integral of the sinc function over the positive real number line.
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx = π/2
This integral is not absolutely convergent, meaning
|(sin x)/x| has an infinite Lebesgue or Riemann improper integral over the positive real line,
so the sinc function is not Lebesgue integrable over the positive real line. The sinc function is,
however, integrable in the sense of the improper Riemann integral or the generalized Riemann or Henstock–Kurzweil integral.[1][2] This can be seen by using Dirichlet's test for improper integrals.
802(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)14:43 ID:6UaSw7YM(2/5) AAS
>>790-800
ふっふ、ほっほ
オチコボレさんとその仲間か？
>>798
ID:kuRldLGK は、ヒキコモリ 基礎論研究の基礎論くんかｗ ；ｐ）
これは分かるな
それはともかく、ニュートンの微積の前の時代
ジョン・ウォリスが、無限演算を熱心に研究したそうな
無限大を表す記号 ∞ を 導入したのも彼だという（下記）
彼は、連分数についても論じているそうな
ところで、2 の正の平方根 √2 は、当然無限連分数になるべきだよ
なぜならば、有限連分数ならば √2 は 有理数になり 矛盾（∵ √2は 無理数）
で？
√2 が、無限連分数になることを 否定したいのか？
現代数学は、ジョン・ウォリス以降の多数の数学者の無限に対する研究を 包含し発展した
そして いま 21世紀に至る
その営みの中で、数学的な無限操作について 21世紀の数学において 十分消化吸収され 認められていることは多いよ
無限連分数展開も その一つだ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジョン・ウォリス（John Wallis、1616年11月23日 - 1703年10月28日）
イングランドの数学者で、微分積分学への貢献で知られている
主な業績
ウォリス積
無限大を表す記号 ∞
積分法
この著作では連分数についても論じている。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
連分数
以下は二次無理数であるため、循環する連分数展開を持つ。
2 の正の平方根
√2=[1;2¯]=[1;2,2,2,…]
805(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)15:39 ID:6UaSw7YM(3/5) AAS
>>791
(引用開始)
オイラーどころか、はるか以前から
条件収束級数を考えてきてるわけで
数学者が無限級数を極限として捉えてきたのは当然でしょう
無限項の和とか言っている御仁は以下のような
無限級数をどのように正当化するのでしょうか？
（当人のレベルでは質問の意味すら分からないと思います）
(引用終り)
ご苦労様です
条件収束級数 vs 絶対収束級数 （下記の高校数学の美しい物語）
ね。高校での話を思い出しました
さて、いまの議論は、数学では無限の操作は許されないかどうかということだった
で、オチコボレさんたちは、数学では”無限の操作は終わらないから 許されない”ｗという
一方私は、多分 ウォリスやニュートン、リーマンの時代までは、結構 無限の操作を許容していたし
カントールも 無限の操作を許容していたろう と思いますよ
一方で、ラッセルパラドックスなどで 無限操作を無批判に許容するとまずいとなって
出来るだけ抑制すべきという時代が 20世紀中ころまであった
その後、また数学の発展があって（超準解析とかね）
21世紀の数学では、無限大や無限小を含めて けっこう無限操作を許す範囲が広がっている
上記の条件収束級数の話においては、下記の高校数学の美しい物語にあるとおりですよ
話は逆で 絶対収束する場合は、無限級数を 無限項の和 と考えてもいい
かまわない場合があるってことですね （「無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える」下記）
高校での数学の話を思い出しましたよ （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
高校数学の美しい物語
絶対収束と条件収束の意味と具体例
2022/10/01
無限級数の絶対収束と条件収束について整理しました。絶対収束なら収束することの証明，絶対収束するとなぜ嬉しいのかを解説します。
注：絶対収束・条件収束は「数列」に対する議論です。一方，各点収束・一様収束は「関数列」に対する議論です。→各点収束と一様収束の違いと具体例
目次
絶対収束，条件収束の定義
具体例
絶対収束すれば収束
絶対収束だとなぜ嬉しいのか
絶対収束だとなぜ嬉しいのか
無限級数が絶対収束すると，有限和のときに可能な様々な操作が自由に行える。
806(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)15:49 ID:6UaSw7YM(4/5) AAS
>>803
(引用開始)
下記の通り、無限連分数は有限部分連分数の列の極限です。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。
(引用終り)
ふっふ、ほっほ ；ｐ）
無限連分数が、分数の無限操作であることと
それが、収束したり 極限を持つこととは 両立していますよｗｗｗ ；ｐ）
807(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/19(火)16:08 ID:6UaSw7YM(5/5) AAS
>>805 追加
下記のディラックのデルタ関数 も、最初は
１点 x=a ∈Rで正の無限大の値を取り、デルタ関数を積分すると 積分値が１になる関数として導入された
下記にあるように、それは通常の関数では無かったが 便利な存在だった
そして、シュワルツ超関数 δとして正当化された
シュワルツさんは 超関数の理論でフィールズ賞 ゲット
数学の無限操作も同じこと
無限操作を含めて 数学として その概念を拡張することで ”無限”を認める数学の範囲は
徐々に広がっていますｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ディラックのデルタ関数
シュワルツ超関数 δ のことである
デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数（英: distribution）の最初の例になっている。
概要
点 x = 0 においてのみ不連続であることを認めても、デルタ関数の特徴付けに用いられている積分が、通常の関数の（広義）リーマン積分やルベーグ積分として理解されるならば、このような関数の積分は恒等的に 0 に等しい関数を積分するのと同じであり積分値は 0 になる。したがって、このような条件を満たすような通常の関数は存在しない。
しかし、通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、適当な枠組みの下では意味を持ち、例えばデルタ分布はヘヴィサイドの階段関数の弱微分（超関数の意味での微分）を与えている。
Sinc関数による近似
Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族
佐藤超関数としての定義
佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値
略
と定義される。
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