Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (787ﾚｽ)
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253: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/02(土) 20:01:36.89 ID:WzsFWnhL

つづき

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/83/Von_Neumann_universe_4.png
この数列はテトレーション成長を示す。V 5 の集合には2^16 = 65536 個の要素が含まれる。V 6の集合には2^65536個の要素が含まれるが、これは既知の宇宙に存在する原子の数を大幅に上回る。
そして、任意の自然数列に対して
n集合Vn +1には 2↑↑n
クヌースの上矢印記法を用いて、要素を記述する。
したがって、累積階層の有限段階は、段階5以降は明示的に記述できない。
集合Vω はω と同じ濃度を持つ。集合V ω+1は、実数の集合と同じ濃度を持つ。

応用と解釈
集合論のモデルとしてのVの応用
ω が自然数の集合ならば、V ω は遺伝的に有限な集合の集合であり、これは無限公理を持たない集合論のモデルである。[ 2 ] [ 3 ]
V ω+ωは「通常の数学」の宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである（ただしZFのモデルではない）。[ 4 ] V ω+ω の適切性を支持する単純な議論は、V ω+1 が整数に適切であり、V ω+2 が実数に適切であり、他のほとんどの通常の数学は、V ω+ωの外に出る置換公理を必要とせずに、これらの集合からさまざまな種類の関係として構築できるという観察である。

κ が到達不可能な基数である場合、V κはツェルメロ–フランケル集合論(ZFC)のモデルそのものであり、 V κ+1 はモース–ケリー集合論のモデルである。[ 5 ] [ 6 ]（すべての ZFC モデルは ZF モデルでもあり、すべての ZF モデルは Z モデルでもあることに注意。）

Hilbert's paradox
Interestingly, x is a subset of V if, and only if, x is a member of V.
Therefore, we can consider what happens if the union condition is replaced with
x∈V⟹∪x∈V.
In this case, there are no known contradictions, and any Grothendieck universe satisfies the new pair of properties.
However, whether Grothendieck universes exist is a question beyond ZFC.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/253

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