ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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225(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(3/23) AAS
>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
各拡大 Ki+1/Ki は、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群であるガロア拡大である。
証明のアイデア
可解群の正規系列に沿って、中間体のチェーンを構築し、
各ステップで解が四則演算とべき根を用いて次の拡大の根まで表現できることを示す。
特に、巡回群に対応する拡大は原始根の添加（べき根の添加）で記述できる。
226(4): 暇人 06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AAS
>>225
ステップ1：巡回拡大の構造
まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。
補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、
拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、
α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。
補題の証明：
Ki+1/Ki は位数 ni のガロア拡大で、ガロア群は Z/ni に同型。
ガロア理論により、σ∈Gal(Ki+1/Ki) は σ(α)=(ζ‗ni^k)α（ζ‗ni は1の原始 ni 乗根、( k ) は σ に対応する整数）で定義される。
α^ni は σ によって固定される（σ(α^ni)=(σ(α))^ni=((ζ‗ni^k)α)^ni=α^ni より）。
よって、α^ni∈Ki。
よって、Ki+1=Ki(α) は x^ni−a=0（a=α^ni∈Ki）の解によって得られる。
この補題により、各 Ki+1/Ki はべき根の添加で構成できる。
229(2): 暇人 06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、
ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。
(x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので
体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、
>>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が
K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
（注：(Z/ni)×はZ/niと異なる）
234(1): 暇人 06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
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