ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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1(7): 05/27(火)23:03 ID:mVXlvt9d(1/15) AAS
前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
2chｽﾚ:math
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17
このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）
資料としては、まずはこれ
外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
外部ﾘﾝｸ[pdf]:sites.google.com
＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
2chｽﾚ:math 以降ご参照
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Multiplier ideal
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik
＜層について＞
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
層 (数学)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Sheaf (mathematics)
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
Faisceau (mathématiques)
あと、テンプレ順次
つづく
10(4): 05/27(火)23:09 ID:mVXlvt9d(10/15) AAS
つづき
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：画像ﾘﾝｸ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 双曲面
二葉双曲面 ：画像ﾘﾝｸ
おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 2chｽﾚ:math より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも
可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾
注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；
なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
つづく
83(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/31(土)11:50 ID:GXFm2WhE(1/7) AAS
戻る
前スレ463より
2chｽﾚ:math
帰りの 駅の 書店で 杉浦 解析入門I を見てきたが
”「実数から実数への連続関数は
すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”
は無かった
”トマエ関数、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数”は 載っていた
（トマエ関数の名前無しで、ただ関数の定義だけが）
杉浦 解析入門I には 載ってないってことは、他の本にもなさそうかな
あとは、高木本だが いま 高木本は 書店の店頭には 並んでいないのです
休みに図書館で取り寄せて貰おうかな ；ｐ）
(引用終り)
なお、前スレ399
"では、わかってるかどうか質問
「実数から実数への連続関数は
すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？ 本当としてその証明示せる？" が、最初だった
これ 本が来ました
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.iwanami.co.jp
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
ここにある下記の問題だね
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)
細かい議論は、前スレの399から 463まで ご参照
さすが、高木貞治 解析概論 だね。ちゃんとあるね（いまどきの本では、なかなか載ってなかった）
なお、上記の通り 問（5）と 問（6）とを、ペアで学習し 覚えておくことだね
（つーか、問（5）は 問（6）の前座だな ；ｐ）
111(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/02(月)15:24 ID:ge6+WwpB(1/2) AAS
>>110
>[a,b]は閉区間、したがって閉区間、しかも有界
>そして、大学１年で微分積分を習得し、理解した者なら、
>でも知っていて当然の定理がある！
>定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）
>I を有界閉区間，f:I→Rを連続関数とする。このとき，f は一様連続である。
>したがって、出題の条件から必然的に一様連続である！
ふっふ、ほっほ
血迷ったか？
１）最初はぐー だよｗ
>>83より 前スレ399
"では、わかってるかどうか質問
「実数から実数への連続関数は
すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？ 本当としてその証明示せる？" が、最初だったろう？
だったろ？ ここで有限区間の指定なし
その証明も 前スレ442より 下記のstackexchange answered May 3, 2013 Gyu Eun Lee の通りだ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Why is every continuous function on the reals determined by its value on rationals? [closed]
Asked 12 years ago
asked May 3, 2013
Timothy Chang
answered May 3, 2013
Gyu Eun Lee
Suppose I have two continuous functions f,g:R→R
that agree at every rational number. You want to conclude that f(x)=g(x)
for every real number x.
Alternatively, you can show that f(x)−g(x)=0
for every real number x.
f−g is a continuous function on R, and (f−g)(q)=0
for every rational number q.
Let x be an arbitrary real number. Since the rationals are dense in the reals, we choose a sequence of rational numbers converging to x.
On this sequence f−g is identically zero, and passing to the limit by continuity, we conclude that (f−g)(x)=0.
Since x was arbitrary f−g is identically zero on R.
So a continuous function on R is uniquely determined by its values on Q.
２）さて おれが常に心掛けているのは、数学の証明というのは、しばしば複数あって
その各証明 というものは、背景には数学の構造があって、それを反映したものなのだよ
証明から 背後の数学の構造を感じ取れるか？ 看破できるかどうか？ だ
３）でな、高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね
だが、君の本来の設問は 上記の通りで、 閉区間と 有界の設定なしだろう？
つまり、上記”「実数から実数への連続関数は
すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
これ本当？”（これは 君自身の書いたこと）を、百回反芻してくださいね （＾＾
117(3): 信長 06/02(月)18:00 ID:ZRJYBVk5(4/6) AAS
>>111
> でな、高木先生は おそらく 教育的配慮から
> 問題をグレードダウンしているのだろうね
「おそらく」とか「教育的配慮」とか
「グレードダウン」とか「だろう」とか
全部見当違い
問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題
> だが、君の本来の設問は 上記の通りで、閉区間と 有界の設定なしだろう？
まあ、なくても証明できるがな
「実数から実数への連続関数はすべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
という問題は問(5)の一般化ではあるが、問(6)に答える必要がなく、単に、
「任意の有理数上で0となる関数を実数上の関数に拡張した場合
任意の実数上で0となる定数関数以外の関数以外のものは存在しない」
ということを示せばいいだけ
定数関数が一様連続であることはアホでも分かろう
さて、問(6)を一般化する場合
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε」（A）
のδとεがxに依存したもの、すなわち
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δ(x)なるとき, |f(x)-f(x')| < ε(x)」（A’）
でも拡張はできる
一方で、有理数の位相による連続性（B）では拡張の存在を示すには不十分である
（B）を満たすが（A）を満たさぬ関数がある
f(x)=0: x<√2, =1: x>√2. がその例
fが(A')を満たさぬことはハゲネズミでもわかろうが
fが(B)を満たすことが、ハゲネズミ、貴様に示せるか？
こんな初歩が分からん奴は大学1年からやり直せ
> つまり、
>「実数から実数への連続関数はすべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
> を、百回反芻してくださいね
ハゲネズミが百回、千回、いや一万回反芻しても答えは思いつくまい
そもそもf(x)=0: x<√2, =1: x>√2.がなぜ有理数上で連続なのかわからん上に
なぜ、有界閉区間だと連続ならば一様連続が云えて
なぜ、有界開区間だとそう云えないのか分からんハゲネズミは
大学１年レベルの初歩から微分積分が分かっとらんということじゃ
120(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/04(水)15:26 ID:Vo5laslH(1/2) AAS
>>115
(引用開始)
>>111
>「実数から実数への連続関数は
> すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
>だったろ？ ここで有限区間の指定なし
「有限区間」というだけでは一様連続性は言えないぞ
例えば、開区間(a,b)では「連続ならば一様連続」とはいえない
(引用終り)
ふっふ、ほっほ
こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
例えば 下記の ハテナブログ Branched Evolution Competitive Programming in Python 2020-08-16
”一様連続関数を完備化した空間に拡張する”を、ごらんあれ ｗ ；ｐ）
下記では、”有限区間の指定なし”！！
つまり、『一様連続関数を完備化した空間に拡張する』が、定理として成り立つ
有限区間[a,b]の指定は本質ではない
『高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね』(>>111より)
下記の ハテナブログ を百回音読してね
その後、>>111を 読み返せ！ｗ
なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
でも同様だな （君のレベルが上がれば それが分かるだろう ；ｐ）
『問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題』>>117かよｗ
君は、さすが ”学部１年の１日目で詰んだ男”と言われるだけあるわｗ ；ｐ）
追伸：
下記 最後の”また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．”が、>>83の 問（5）な （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:evolite.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/20200816/1597542858
Branched Evolution Competitive Programming in Python
2020-08-16
一様連続関数を完備化した空間に拡張する
関数解析 集合と位相
距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．
補題： 略す
定理
距離空間
(X,d) 上に定義された一様連続関数
f:X→R は
(X,d) の完備化
(X^,d^) 上の一様連続関数
f^ :X^ →R に一意的に拡張できる．
証明
X は X^ の稠密な部分集合として埋め込めるから，
x∈X^ に収束する
X の点列
{xn} がとれる．
{xn} は収束するから，Cauchy 列であり，補題より
{f(xn)} も Cauchy 列である．
R の完備性より，
{f(xn)} は収束し，その収束先は点列
{xn} のとり方によらないから，
f^ を f^ (x)=lim n→∞ f(xn) で定義できる．
また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．
参考
Aliprantis, Charalambos D., Border, Kim, Infinite Dimensional Analysis
126(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/05(木)18:14 ID:RwvI7Q/q(2/2) AAS
>>120 追加
>こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
google検索：大学 pdf 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる
で、大学の講義用 pdf が見つかるよ
AIだけじゃなく 裏付けの検索能力を 向上させようね （＾＾
＜結果より抜粋＞
１）
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
埼玉大学 大学院理工学研究科 数理電子情報専攻 数学プログラム 理学部 数学科
外部ﾘﾝｸ[html]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
福井 敏純 のページ
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
講義ノートなど
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
集合と位相空間入門 福井敏純
P122
9.3 一様連続
定理9.3.3 Xを距離空間，Yを完備距離空間とする．Xの稠密集合Aからの写像f：A→Yが一様連続ならば，
fは写像F：X→Yに一意に拡張する．
更に，Fも一様連続となる
証明 概略のみ示す．x∈Xに収束するAの点列(an)をとる．点列(an)はCauchy列なので点列(f(an))もCauchy列であり，
ある点y∈Yに収束する．yは点列(an)の選び方によらずに定まる．■
２）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tsukuba.ac.jp
福島竜輝 筑波大学 数理物質系 数学域
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.tsukuba.ac.jp
関数解析講義ノート
筑波大学で2020年度から2024年度まで担当していた「関数解析」の講義ノートです．
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
関数解析講義ノート 福島 竜輝 March 28, 2025
P54
9.3 汎弱収束による点列前コンパクト性
・・・を満たすので，{xk}k∈N 上で一様連続です．
したがって距離空間の一般論
「稠密な部分集合の上で一様連続な関数は，一意的に全体に連続拡張できる」
を使って，ϕ:X →Cという連続線型汎関数が定まります．
145(4): 06/10(火)18:02 ID:Dv67HRUE(1) AAS
>>142
>くやしいのう
そうか、数学が理解できなくて悔しいか
なら、国語からやり直そうな
>”書き写す”なんて ダサいことはしていない
>このページをコピーして、それをスキャナーで読ませて
>PDFのOCRからコピー貼付けした
読んでないから、ダサいな
>"一様連続と書いてあるとそのままそれが必要条件だと思って書き写す"？ ●●か
>高木『必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること』とある
なぜ、そうなるかわかってるかい？
「f(x)は ”或る区間[a,b]” の有理数xに関してのみ定義されていて」
” ” でくくったところ読んだかい？
ここってどういう集合？
「有界」「閉」区間だろ？
君、この定理知ってる？
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）
I を有界閉区間，f:I→R を連続関数とする。
このとき，f は一様連続である。
すなわち，
任意の ε>0 に対して，ある δ>0 が存在して，
∣x−y∣<δ⟹∣f(x)−f(y)∣<εが成立する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
つまり、有界閉区間上で定義されてることを利用している。
ここ、分かってないのは、大学１年の微積の理論が分かってないオチコボレな
つまり、君はこのことに全く言及できなかった時点で立派なオチコボレ
一方f(x)が 有理数x全体で定義されているとしよう
このときf(x)の定義を拡張して
実数全体で連続なる函数が得られる必要十分条件は何か？
もちろん、f(x)が有理数全体で一様連続なら拡張できるよ
しかし、そうでないなら拡張できない、というならウソ
反例が有理数上での関数x^2
これ、R上で一様連続かい？
まあ、はっきりいって、
答えは9割方明らかなんだけどね
君に残り1割が埋められるのかな
ふっふっふ ほっほっほ
148(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/10(火)23:19 ID:c+NJ0JxA(3/3) AAS
>>145-146
ご苦労さまです
ID:equarQsV は、御大か
巡回ありがとうございます
>このことに言及する気にまったくなれない自分は
全くですね
”このこと”とは、>>145の”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”
ですが、私も全く同様で、必要がないと思います
過去にも書いたが >>142の解析概論（高木 2010版）の練習問題
『（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x'に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．』
ここで 有界閉区間[a,b]を 記載しているのは おそらく 教育的配慮で
説明を 簡便にするためでしょう
（>>121の通り 全書式は、入門書としては 配慮に欠けると。簡明さのため 区間[a,b]を入れたのしょう
(参考)
2chｽﾚ:math
解析概論 第一版緒言
全書式ともいうべきものは，約言すれば数学現状の展覧会で，精粗錯雑，玉石
同架である．それは玄人向きで，解析概論においてはまずは問題外であろう．解析概論におい
て，最も理想的な方法は，理論の大局においては講義式，細節においては教本式にのっとって，
なおその上に慾を言えば，全書式の各部門からなるべく多くのサンプルを取入れて，全体を具
合よく調合するのであろうが，具合よくというところに無限の要求がある．このような理想を
念頭に置きつつ,本書を書きは書いたが，もとより具合よくはいかないで校了の後・・・略す）
また、すでに書いたが >>108-109記載の通りで
wiis 外部ﾘﾝｸ:wiis.info
「関数の一様連続性（一様連続関数）」
『1変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。』
これで 「一様連続性は定義域の選び方に依存する」の節がある
”例（一様連続性と定義域）”の記載があるよ
そして、ここにwiisの演習問題で 定義区間が 全実数を渡る 一様連続関数 が出題されている
だから、”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”は 鼻くそ みたいな話だろう
繰り返すが、解析概論（高木）は、教育的配慮から 練習問題(5)と(6)を
”或る区間[a,b]”として、説明が簡潔になることを優先したのだろう
（多分 本文の説明に合わせて 練習問題を簡略にした）
165(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/12(木)22:33 ID:EWvjXceg(2/3) AAS
>>155
>2)は、必要条件を求める問題、もちろん有界閉区間での知見を「陽」に使ってよい
>っていうか「陽」につかわないって馬鹿？
ふっふ、ほっほ
下記のAI による概要で
”Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.”と言ってますよ
”有界閉区間”の条件はありません！！ｗ ；ｐ）
＜キーワード＞
数学 距離空間 稠密 関数 一様連続 拡張
↓英訳
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension
↓検索 googleさん
AI による概要（AI responses may include mistakes. Learn more）
In the context of metric spaces, if a function f is uniformly continuous on a dense subset S of a complete metric space X, then f can be extended to a uniformly continuous function F defined on the entire space X. This theorem is a powerful tool for extending functions from dense subsets to the whole space while preserving uniform continuity, which is crucial in many mathematical applications.
Key Concepts and Definitions:
Metric Space:
A set equipped with a distance function (or metric) that satisfies certain properties.
Dense Subset:
A subset where every point in the larger space is either in the subset or can be approached arbitrarily closely by a point in the subset.
Uniformly Continuous Function:
A function where the distance between the function values of two points can be made arbitrarily small as long as the distance between the two points is small, regardless of where those points are in the domain.
Complete Metric Space:
A metric space where every Cauchy sequence (a sequence that gets arbitrarily close to each other) converges to a point in the space.
Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.
つづく
166(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/12(木)22:34 ID:EWvjXceg(3/3) AAS
つづき
Proof Outline:
1. Definition of Extension:
The extension F is defined on X by considering a sequence {x_n} in S that converges to x in X. Then F(x) is defined as the limit of f(x_n) as n approaches infinity.
2. Well-Definedness:
The definition of F is shown to be independent of the chosen sequence {x_n} converging to x.
3. Continuity of Extension:
The extension F is shown to be continuous on the closure of S (i.e., ¯S).
4. Uniform Continuity of Extension:
The uniform continuity of F is established using the uniform continuity of f and the completeness of Y.
Significance:
This theorem is fundamental in analysis because it allows us to extend properties of functions defined on dense subsets to the entire space. This is particularly useful when we want to analyze the behavior of functions on a larger space using information available on a smaller, dense subset
(参考リンク：URL略す)
Extending a function by continuity from a dense subset of a space
2011/10/29 — Now, the main theorem. Theorem. Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f:S→Y. If f is uniformly continuous a...
Mathematics Stack Exchange
Continuous extensions of continuous functions on dense subspaces
2012/07/12 — 1 Answer. ... Uniform continuity ensures that the Cauchy sequence (qn) in Q is mapped to a Cauchy (and hence convergent)
Mathematics Stack Exchange
Uniform continuity - Wikipedia
Continuity of a function for metric spaces and at every point of an interval (i.e., continuity of on the interval ) is expressed b...
Wikipedia, the free encyclopedia
(引用終り)
以上
173(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/14(土)09:22 ID:036MevG8(1/3) AAS
>>165 追加
ふっふ、ほっほ
学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさんと
5ｃｈ数学板で つまらん 議論（or スレばとる？）するほど 暇では無い
そんな暇があれば、下記などをば
pdf univ を追加すれば、大学レベルのまとまったpdfに絞ることができる
それを読む方が、よほど有益だよｗ ；ｐ）
＜キーワード＞
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension
↓pdf univ を追加(大学レベルのまとまったpdfに絞る)
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension pdf univ
↓検索 googleさん
On densely complete metric spaces and extensions of ...
arXiv
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org›pdf
PDF
K Keremedis 著 · 2019 · 被引用数: 7 — S is a dense subspace of X, while f : S → Y is a uniformly continuous function, then there exists a uniformly continuous extension F : X → Y.
On densely complete metric spaces and extensions of ...
ResearchGate
外部ﾘﾝｸ:www.researchgate.net›330...
このページを訳す
2019/01/29 — A metric space X is called densely complete if there exists a dense set D in X such that every Cauchy sequence of points of D converges in ...
Metric Spaces
DIM-UChile
外部ﾘﾝｸ:www.dim.uchile.cl›~chermosilla › CVV
PDF
S Shirali 著 · 被引用数: 139 — Let X be a metric space and x0 a point in X. The space of all real-valued, continuous bounded functions on X with the uniform metric du( f , g) ¼ sup{jf (x) ...
229 ページ
On the density of the space of continuous and uniformly ...
ScienceDirect.com
外部ﾘﾝｸ:www.sciencedirect.com›article›pii›pdf›pid=...
C Costantini 著 · 2006 · 被引用数: 9 — For X a metrizable space and (Y,ρ) a metric space, with Y pathwise connected, we compute the density of (C(X, (Y, ρ)), σ )—the space of all continuous functions ...
23 ページ
Model theory for metric structures
Institut Camille Jordan
外部ﾘﾝｸ:math.univ-lyon1.fr›articles›mtfms
PDF
IB Yaacov 著 · 被引用数: 576 — Suppose M,M0 are metric spaces and f is a bounded uniformly continuous function from M×M0 to R . Let ∆ be a modulus of uniform continuity for f. Then supy f and ...
114 ページ
Continuous extensions of continuous functions on dense ...
つづく
176(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/14(土)20:32 ID:036MevG8(3/3) AAS
>>175
ふっふ、ほっほ
さずが、学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさん
>>83 より再録
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.iwanami.co.jp
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)
ここで、高木は おそらく教育的配慮から（本は図書館へ返却して手元にないが、
練習問題（1）の前の記載 ”第1章 基本的な概念”の本文記述の都合で）
”区間[a,b]”に限定した 問（5）、問（6）の設定としたのだろう
では、この”区間[a,b]”の設定を外して
抽象的な距離空間で 同様の命題が成り立つか否か？
これは、自然な設問として 誰しも考えることだろう
その答えが、>>173-174 であり >>165-166だということよ
従って、いま必要なことは、アホぼけの オチコボレさんと、バカ数学問答をすることではなく
まず、>>173-174 ＆ >>165-166 を読み込むべし ってことだ
オチコボレさんは、数学イップスが治癒しかかっているが
いまだ完治せず らしい
>>173-174 ＆ >>165-166 が、読めないらしいｗ ；ｐ）
207(4): 06/25(水)15:40 ID:y9zxAHiX(2/2) AAS
これ、面白い
外部ﾘﾝｸ[html]:www.itmedia.co.jp
フロッピーディスクとWindows 95と紙が頼りの米航空管制、ついに近代化へ システム老朽化でトラブル多発
20250623 鈴木聖子 ITmedia
空の安全を守る米国の航空管制塔で、システムの老朽化に伴うトラブルが続発している。米連邦航空局（FAA）は管制システム近代化の計画を表明し、「フロッピーディスクと紙の運航票はもうやめる」と断言した
直近でトラブルに見舞われたのは、ニューヨークへの空の玄関口、ニューアーク・リバティ国際空港の管制塔だった。4月下旬から5月にかけて、管制システムの通信障害や画面のブラックアウトなどのトラブルが繰り返され、同空港を利用する便の欠航や遅延、行先変更が続出。対応を強いられた管制官がストレスのため次々に病欠してさらに欠航が増える悪循環に陥った
管制システムの通信障害は5月にコロラド州のデンバー国際空港でも発生。1月には首都ワシントン近郊でアメリカン航空の旅客機と米軍のヘリコプターが衝突して乗客乗員全員が死亡する惨事が起きた。2023年1月にはパイロットへの情報伝達に使われるFAAのNOTAMシステムで重大な障害が発生し、全米で便の運航がストップした
そうしたトラブルが起きるたびに指摘されてきたのが、システムの老朽化だった。米公共放送NPRによると、米国の管制塔ではフロッピーディスクや紙の運航票、さらには「Windows 95」搭載のPCが今も普通に使われており、「米国内の管制塔に足を踏み入れると、まるで20世紀にタイムスリップしたような錯覚に陥る」という
航空管制システムの近代化を求める声は以前から噴出していた。FAAは23年の時点で、米国内の管制システムの3分の1以上について、時代遅れの機能やスペアパーツ不足などを理由に「持続不可能」と判定していた
そんな状況を変えようと、管制システムの近代化を促す目的で「Modern Skies」という団体が結成された。さまざまな企業が参加しており、航空業界団体から大手航空機メーカー、管制官や操縦士、客室常務員の組合に至るまで、あらゆる関連団体や企業が名を連ねる
同団体が制作したテレビCMは、まず1980年代のカセットプレーヤーや分厚いPCモニター、フロッピーディスクなどを登場させ、そこから時代を先送りする。「ところが40年たった今も、フロッピーディスクがいまだに私たちの管制塔の運営に使われているのです」というナレーションが流れ「The time for changes is NOW」（変化の時は今だ）とメッセージを掲げている
管制システムのアップグレードを阻む課題
アップグレードにあたってはセキュリティ対策の徹底も課題になる。もし管制システムがサイバー攻撃を受ければ甚大な影響が出る。これまでは航空機の動きを運航票で記録して、システム間のデータのやりとりにはフロッピーディスクを使っていたことから、不正侵入とは無縁だった。24年7月に米CrowdStrikeのシステム障害が世界を襲った際に、管制塔が影響を免れたのは古いシステムのおかげだったともいわれる
それでも米運輸省は管制システム刷新の計画書の中で「こうしたシステムや設備、機器の多くは数十年前のもので、時代遅れになり、耐用年数を過ぎている。リスクはかつてないほど増大しており、近代化に10年以上かけるわけにはいかない。今すぐやらなければならない」と強調している
224(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(2/23) AAS
>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。
証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：
十分性：ガロア群が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。
必要性：解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。
以下では、まず十分性の証明を詳細に示し、次に必要性の証明を簡潔に説明します。
証明は、体の標数が 0 またはガロア群の位数と互いに素である場合を仮定します
（これは一般的なケースで、代数方程式の解の表現において問題となる有限体の場合を除外します）。
225(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(3/23) AAS
>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
各拡大 Ki+1/Ki は、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群であるガロア拡大である。
証明のアイデア
可解群の正規系列に沿って、中間体のチェーンを構築し、
各ステップで解が四則演算とべき根を用いて次の拡大の根まで表現できることを示す。
特に、巡回群に対応する拡大は原始根の添加（べき根の添加）で記述できる。
226(4): 暇人 06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AAS
>>225
ステップ1：巡回拡大の構造
まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。
補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、
拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、
α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。
補題の証明：
Ki+1/Ki は位数 ni のガロア拡大で、ガロア群は Z/ni に同型。
ガロア理論により、σ∈Gal(Ki+1/Ki) は σ(α)=(ζ‗ni^k)α（ζ‗ni は1の原始 ni 乗根、( k ) は σ に対応する整数）で定義される。
α^ni は σ によって固定される（σ(α^ni)=(σ(α))^ni=((ζ‗ni^k)α)^ni=α^ni より）。
よって、α^ni∈Ki。
よって、Ki+1=Ki(α) は x^ni−a=0（a=α^ni∈Ki）の解によって得られる。
この補題により、各 Ki+1/Ki はべき根の添加で構成できる。
227(4): 暇人 06/28(土)08:37 ID:4S+Arcik(5/23) AAS
>>226
ステップ2：拡大の連鎖
正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。
236(3): 暇人 06/28(土)09:50 ID:4S+Arcik(14/23) AAS
223-235を読むかぎり、
Grokはここの「スレ主」こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPよりも
ガロア理論による可解性の定理の証明を「理解」している、と思える
ただ1点気になるのは>>229の原始根の添加の箇所
過去のスレ主の発言をみると明らかに理解できていなかったが
Grokがこの点について、スレ主よりも分かっている説明ができるかどうか…
250(3): 暇人 06/29(日)04:55 ID:gukAFALT(1/12) AAS
>>249
質問には答えない 無意味だから
> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
どの本を読んだか知らないが、
その言葉で、全く分かってないことが露見
そこ、全然関係ないから
１のｎ乗根をどう書き表すつもり
cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
とかいうなよ 笑われるぜ
べき根で表せっていってるだろ
1の3乗根だったら-1/2±√(-3)/2な
1のn乗根も上記のようにべき根で表せるか？ってのが問題な
全然分かってなかっただろ？
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP Grokに完敗ってことよ
おまえの人生 全く無駄だったな
次、生まれたら、機械にまねできないことやれよ
じゃあな
255(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)09:31 ID:HQSTLRKE(2/13) AAS
>>250
>> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
>> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
>> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
>どの本を読んだか知らないが、
>その言葉で、全く分かってないことが露見
>そこ、全然関係ないから
君は、石井の頂本（下記）を買ったというが、全然読めてないぞ
関連箇所を 引用しておくから、百回音読してね ；ｐ）
要点は、1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
巡回群の説明のために、第１章で（整数論の）”原始根”とか オイラー関数φとかが出てくるんだよ
まあ、君には難しいのだろうが・・
(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.beret.co.jp
ベレ出版
ガロア理論の頂を踏む
石井俊全 2013年08月22日発売
（目次）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.beret.co.jp
第１章「整数」
?(Z/Zp)* は，巡回群である････73
? 素数pの原始根は確かにある････80
? 既約剰余類群を解剖する････ 87
▶(Z/Zp)*の構造
第4章 「複素数」
4 1の原始n乗根を解に持つ方程式････245
▶円分多項式
定義 4.1 円分多項式････ 245
定理 4.10 素数次の円分多項式････246
定理 4.11 1のn乗根の和の公式･････247
第6章 「根号で表す」
1 1のn乗根をベキ根で表す････412
▶円分方程式の可解性
定理 6.1 1のn乗根のベキ根表現････ 416
（立ち読み）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.beret.co.jp
はじめに
P5
ルートの説明
登り口は，第1章「整数」です
整数の章の最終目標は，既約剰余類群の構造の解明です。これはピーク
の定理の証明でも使われる事項で重要項目です
P6
第5章は，「体の拡大と自己同型群」がテーマです
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１） 方程式の最小分解体
（２） 有限次正規拡大体
（３） （ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
が，具体的な計算は他書ではなかなかお目にかかれないところです
257(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/29(日)09:59 ID:HQSTLRKE(3/13) AAS
>>255 補足
(引用開始)
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１） 方程式の最小分解体
（２） 有限次正規拡大体
（３） （ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
(引用終り)
さらに補足しておくと
石井俊全氏は、ガロア拡大体の定義に3つの流儀があるという
で、Grokくんが この3つの流儀を ごちゃ混ぜにつまみ食いして 記述すると おかしくなるだろうね
それから、”1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です”とあるだろ？
ここは、ガウスがDAで証明しているよ
だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
そうでない立場の2つの流儀があるのです
前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが簡便になるのです
一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う
一方、ガウスDAの円の等分を、ガロア理論の一つの系として論じるときなどには
後者の立場が良いのです
で、Grokくんが この2つの流儀を ごちゃ混ぜにつまみ食いして 記述すると おかしくなるだろうね ；ｐ）
408(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/03(日)09:25 ID:NbGdsnnL(2/4) AAS
>>406
> 高卒は数学あきらめろ
おサル>>10？
AI時代 数学AIが出てくれば、高卒でも 数学科のオチコボレさんより上では？
あたかも、昔コンピュータの円周率計算で、人の手計算より ずっと多くの桁まで計算可能になった 黎明期のごとし
いま、計算の達人 ガウスいても エクセル使う高卒に敵わないだろう
と、同じように おサルの時代は 「数学とは厳密なり〜！」が数学科で重視された時代があっただろう
これから数学AIが出てきた時代には、それだけじゃぁ 伍者以外の何者でも無いと思うよ
(参考)>>7-9
・＜数学と厳密＞ 渕野
・テレンスタオ （下記）
・数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む 謎の数学者 2022/06/07
外部ﾘﾝｸ:terrytao.wordpress.com
テレンスタオ
There’s more to mathematics than rigour and proofs
（google訳）
「ポスト厳密」段階
The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”.
This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
厳密に考える方法を知ることは極めて重要です。そうすることで、多くのありがちな間違いを避け、多くの誤解を払拭するための規律が得られるからです。
しかし残念ながら、これは意図せぬ結果をもたらし、「曖昧な」あるいは「直感的な」思考（例えば、ヒューリスティックな推論、例からの賢明な外挿、物理学などの他の文脈との類推など）が「非厳密」なものとして軽視されてしまうことがあります
多くの場合、人は最初の直感を捨て去り、数学を形式的なレベルでしか処理できず、数学教育の第二段階で行き詰まってしまいます。
（これは特に、数学論文の読解能力に影響を与える可能性があります。過度に文字通りに解釈する考え方は、論文にたった一つの誤字や曖昧さに遭遇しただけで「コンパイルエラー」につながる可能性があります）
厳密さの要点は、すべての直感を破壊することではなく、良い直感を明確にし、高めながら、悪い直感を破壊するために使用する必要があります
複雑な数学の問題に取り組むことができるのは、厳密な形式主義と良い直感の両方を組み合わせることによってのみです
前者は細かい詳細を正しく処理するために、後者は全体像を正しく処理するために必要です
どちらか一方が欠けていると、暗闇の中で手探りで多くの時間を費やすことになります
したがって、厳密な数学的思考に十分慣れたら、主題に関する直感を再検討し、新しい思考スキルを使用してこれらの直感を捨てるのではなく、テストして洗練する必要があります。これを行う 1 つの方法は、自分自身に愚かな質問をすることです。もう 1 つは、自分の分野を学び直すことです
理想的な状態とは、あらゆるヒューリスティックな議論が自然にその厳密な対応を示唆し、その逆もまた同様である状態です。そうすれば、脳の両半分を同時に使って数学の問題に取り組むことができるようになります。つまり、「実生活」で既に問題に取り組んでいるのと同じ方法です
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
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ぬこの手 ぬこTOP 0.035s