ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (541ﾚｽ)
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226(4): 暇人 06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AA×
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226: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:36:42.54 ID:4S+Arcik >>225 ステップ1：巡回拡大の構造 まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。 巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します （必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。 補題（巡回拡大のべき根表示）： Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、 Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する （つまり、α は Ki 上のべき根）。 さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、 拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、 α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。 補題の証明： Ki+1/Ki は位数 ni のガロア拡大で、ガロア群は Z/ni に同型。 ガロア理論により、σ∈Gal(Ki+1/Ki) は σ(α)=(ζ‗ni^k)α（ζ‗ni は1の原始 ni 乗根、( k ) は σ に対応する整数）で定義される。 α^ni は σ によって固定される（σ(α^ni)=(σ(α))^ni=((ζ‗ni^k)α)^ni=α^ni より）。 よって、α^ni∈Ki。 よって、Ki+1=Ki(α) は x^ni−a=0（a=α^ni∈Ki）の解によって得られる。 この補題により、各 Ki+1/Ki はべき根の添加で構成できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/226
ステップ巡回拡大の構造 まずガロア群 が巡回群である拡大 を考えます 巡回群の位数を とし がの原始 乗根を含むと仮定します 必要に応じて原始根を添加した拡大を別途考える 補題巡回拡大のべき根表示 が位数 の巡回ガロア拡大であるとき であり となる が存在する つまり は 上のべき根 さらに が１の原始 乗根 を含む場合 拡大はクンマー拡大 として記述でき の形の解を持つ 補題の証明 は位数 のガロア拡大でガロア群は に同型 ガロア理論により は はの原始 乗根 は に対応する整数で定義される は によって固定される より よって よって は の解によって得られる この補題により各 はべき根の添加で構成できる

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