ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/
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45: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/29(木) 07:20:22.03 ID:8NGDhp6I >>42 (引用開始) >ガロアの「オーギュスト・シュバリエへの手紙」 >朝倉書店 数学史業書「アーベル/ガロア 楕円関数論」2008年 第3刷 >P289に 彼の方程式論の応用で”楕円関数のモジュラー方程式”に関するものとして >・周期をp^2-1等分する方程式の群 >・この群の固有分解（現代用語では 正規部分群） >・この方程式の次数を下げる理論 >が、彼の方程式論として 遺書で語られている 竹千代、無理するな 貴様の脳味噌で楕円関数なんかわかるわけなかろう すでに”p^2-1のわけないだろ”、と氏郷に突っ込まれとる（笑） やっぱ近江の者は、三河とかいう田舎者と違って賢いのう (引用終り) これは失礼つかまつった 「織田がつき羽柴がこねし天下餅 ただらくらくと食ふは徳川」の 家康でござる ；ｐ） 1）”貴様の脳味噌で楕円関数なんかわかるわけなかろう” は、御意なるも 2）このガロア ”楕円関数のモジュラー方程式”の論では ラグランジュ分解式は 使えないのです 3）ガロアリゾルベントを使う ガロアの代数方程式理論で ガロアは ”楕円関数のモジュラー方程式”を研究したのです よろしいかな ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/45
92: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/31(土) 17:09:23.03 ID:5ay0Ubx7 武田勝頼 の嫁に嫁がせた → 武田勝頼の嫁に嫁がせた 空白が生じた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/92
233: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:45:28.03 ID:4S+Arcik >>224-232 注意点 体の標数：証明では、体の標数がガロア群の位数と互いに素であることを仮定した。 標数が p で、ガロア群の位数が p で割り切れる場合（例えば、有限体の場合）、 追加の議論（例えば、非分離拡大の扱い）が必要だが、 一般的な代数方程式（例えば、Q 上の多項式）ではこの仮定で十分。 （注：元の文では「体の特徴」となっていたのを「体の標数」に直した） 原始根：原始 n 乗根の添加は、技術的には四則演算とべき根の範囲内で処理される（(x^n−1)/(x-1)=0 の解として）。 厳密性：完全な証明には、ガロア対応やクンマー理論の詳細な適用が必要だが、ここでは主要な論理を簡潔に示した。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/233
246: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:58:36.03 ID:4S+Arcik 可解群の構造との整合性： 可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、 各ステップで必要な原始乗根の添加は、 前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。 ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、 そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。 これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。 循環論法の回避： 循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。 ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、 ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。 証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。 ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。 具体例で確認 例えば、K=Q、ni=3 の場合： Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。 Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、 Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。 これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。 ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。 このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/246
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