ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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45(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/29(木)07:20:22.03 ID:8NGDhp6I(1/2) AAS
>>42
(引用開始)
>ガロアの「オーギュスト・シュバリエへの手紙」
>朝倉書店 数学史業書「アーベル/ガロア 楕円関数論」2008年 第3刷
>P289に 彼の方程式論の応用で”楕円関数のモジュラー方程式”に関するものとして
>・周期をp^2-1等分する方程式の群
>・この群の固有分解（現代用語では 正規部分群）
>・この方程式の次数を下げる理論
>が、彼の方程式論として 遺書で語られている
竹千代、無理するな
貴様の脳味噌で楕円関数なんかわかるわけなかろう
すでに”p^2-1のわけないだろ”、と氏郷に突っ込まれとる（笑）
やっぱ近江の者は、三河とかいう田舎者と違って賢いのう
(引用終り)
これは失礼つかまつった
「織田がつき羽柴がこねし天下餅 ただらくらくと食ふは徳川」の
家康でござる ；ｐ）
1）”貴様の脳味噌で楕円関数なんかわかるわけなかろう”
は、御意なるも
2）このガロア ”楕円関数のモジュラー方程式”の論では
ラグランジュ分解式は 使えないのです
3）ガロアリゾルベントを使う ガロアの代数方程式理論で
ガロアは ”楕円関数のモジュラー方程式”を研究したのです
よろしいかな ；ｐ）
92: 05/31(土)17:09:23.03 ID:5ay0Ubx7(2/6) AAS
武田勝頼 の嫁に嫁がせた → 武田勝頼の嫁に嫁がせた
空白が生じた
233: 暇人 06/28(土)08:45:28.03 ID:4S+Arcik(11/23) AAS
>>224-232
注意点
体の標数：証明では、体の標数がガロア群の位数と互いに素であることを仮定した。
標数が p で、ガロア群の位数が p で割り切れる場合（例えば、有限体の場合）、
追加の議論（例えば、非分離拡大の扱い）が必要だが、
一般的な代数方程式（例えば、Q 上の多項式）ではこの仮定で十分。
（注：元の文では「体の特徴」となっていたのを「体の標数」に直した）
原始根：原始 n 乗根の添加は、技術的には四則演算とべき根の範囲内で処理される（(x^n−1)/(x-1)=0 の解として）。
厳密性：完全な証明には、ガロア対応やクンマー理論の詳細な適用が必要だが、ここでは主要な論理を簡潔に示した。
246(1): 暇人 06/28(土)14:58:36.03 ID:4S+Arcik(21/23) AAS
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。
ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。
循環論法の回避：
循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。
ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて
x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、
ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。
証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。
ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。
具体例で確認
例えば、K=Q、ni=3 の場合：
Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。
Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、
Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。
これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。
ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。
このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。
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