ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (541ﾚｽ)
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246: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:58:36.03 ID:4S+Arcik 可解群の構造との整合性： 可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、 各ステップで必要な原始乗根の添加は、 前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。 ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、 そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。 これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。 循環論法の回避： 循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。 ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、 ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。 証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。 ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。 具体例で確認 例えば、K=Q、ni=3 の場合： Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。 Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、 Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。 これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。 ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。 このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/246
可解群の構造との整合性 可解群の正規系列 に沿って拡大を構成する際 各ステップで必要な原始乗根の添加は 前のステップで得られた体 の元に基づいて行われます の添加は拡大 を構成し そのガロア群が可解実際にはアーベルであることを保証します これにより次のステップクンマー拡大の準備が整います 循環論法の回避 循環論法とは結論を仮定して証明を進める場合です ここでは を添加することは に含まれる を用いて の解を導入する操作であり 自身を仮定しているわけではありません 証明全体の目的は の元方程式の解を の元と四則演算べき根で表現することです の添加はこのプロセスの中間ステップであり の元に基づく方程式の解として正当化されます 具体例で確認 例えば の場合 に原始 乗根 が含まれていない は の分裂体であり の根を添加することで得られる これは を用いた の解の添加でありべき根の添加として正当です ガロア群 は巡回群であり可解群の構造に適合します このプロセスは を仮定するのではなく の元 に基づく方程式の解を導入するものです
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