純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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1(14): 04/24(木)23:06 ID:ntJgvTuV(1/8) AAS
クレレ誌：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19
2chｽﾚ:math
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
2chｽﾚ:math
スレタイ箱入り無数目を語る部屋22
2chｽﾚ:math
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71
2chｽﾚ:math
IUTを読むための用語集資料スレ2
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜カントル超限集合論他 3 (過去スレ落ち)
2chｽﾚ:math

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む84
2chｽﾚ:math
・現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83
2chｽﾚ:math

つづく

2(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/24(木)23:07 ID:ntJgvTuV(2/8) AAS
つづき

＜数学隣接分野について＞
外部ﾘﾝｸ:planck.exblog.jp
大栗博司のブログ
2010年 08月 21日
フィールズ賞
今週はインドのハイデラバードで国際数学者会議 (ICM) が開かれ、フィールズ賞受賞者が発表されました。１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。
スミルノフさんはCaltechの大学院の卒業生なので、今回の受賞はCaltechにとってもうれしいニュースでした。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。
(引用終り)

下記フィールズ賞 2022年のコパン氏は、statistical physics関連
マリナ・ヴィヤゾフスカ氏も、E_{8} latticeは、超弦理論と関連があります。また、24次元はLeech lattice関連で下記”conformal field theory describing bosonic string theory”と関連しています
なので、フィールズ賞 2022年も、物理学との関連ありです

つづく

5(13): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/24(木)23:09 ID:ntJgvTuV(5/8) AAS
つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：画像ﾘﾝｸ

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 双曲面
二葉双曲面：画像ﾘﾝｸ

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 2chｽﾚ:math より
”「ガロア理論昭和で分からず令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；

つづく

6(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/24(木)23:10 ID:ntJgvTuV(6/8) AAS
つづき
（スレ19の838より）
>受験数学でゆがんだプライドもっちゃうならマセマでも真面目にやってた方がマシ

ID:PjxCDrCZさん、ありがとうございます
スレ主です
下記をあっちのスレに書いておきましたが
2chｽﾚ:math
「マセマはなぜ批判されるのか」
>マセマぐらいのことしかやってないアメリカの学部卒に院であっというまに追い抜かされるのが日本の高等教育。
従来の日本の数学高等教育は、厳密病だった
米では、Terence Taoなどが「3.The “post-rigorous” stage」を提唱している
「3.The “post-rigorous” stage」を意識して成長するか
それともレベル2の”厳密”(rigorous”)で成長が止まるか
の違いでは？
(参考)
外部ﾘﾝｸ:terrytao.wordpress.com
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(引用終り)

で、そのおサル(>>5)は、某私立ｗ大数学科へ30年以上前に入学して
そこで、従来の日本の数学高等教育の厳密病による冷や水を浴びせられて
オチコボレさんになって、それがトラウマになっているのです

で、そしてヒネクレてしまって
その一方で、「おれは数学科で数学を”ゲンミツ”に学んだぁ〜！」というプライドだけが高い

本当は、Terence Taoのようにレベル3.The “post-rigorous” stageを目指して
精進すれば良いと思うのですが、どうも厳密病が重症化しているようですね

そして、だれかれなく噛みつく
カミツキ亀みたいなサルに成り下がったのですｗ；ｐ）

つづく

144(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/06(火)14:08 ID:V3WVDSzb(2/7) AAS
>>139
>同値関係.同値類の概念は数学や物理の基本だ。

・別に否定はしていないが、
　言わんとすることは最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら同値使わずにやれるってだけのこと
・なお、下記の”小平先生のNew Math批判”と同じ
　”数学というものはつまらないことを難しそうに言う変てこな馬鹿らしい学問”
　”大学の数学の先生もこんなつまらないことを偉そうにしているらしいと軽蔑されてしまうのである”
　になってないか？もちろん、先に行って抽象的な距離空間の完備化などで同値関係が必要というのを否定するつもりはない（そんなことは百も承知）
・なお、小平邦彦『怠け数学者の記』岩波現代文庫の話と数学科に入ったら読む本福井敏純埼玉大も観てね

(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
理解析研究所講究録第1801巻 2012年 80-92
山崎秀記氏の問題提起に関連して大阪大学伊達悦朗情報科学

2 小平先生のNew Math批判
その論説は今では，たとえば，小平邦彦「怠け数学者の記」岩波現代文庫に収められています．

「New Math批判」本文から引用してみます．
お嬢さんがそれは入試にSMSGの教科書を用いる教育実験の級に編入されたそのときの体験に絡む部分からの後です．
集合論と公理主義の教育に係る部分です．
『まず集合論であるが、子供に無限集合は無理であるから、有限集合を教えることになる。
例えば{ }なる形の括弧の間に馬と鹿と豚の絵が書いてあるものと、
もう一組の括弧の間に豚と犬の絵がかいてあるものが∩なる記号で結ばれていれば、答は{豚}であるというようなことを教えるのであろう。
しかし、ゲームと思えば、・・易しいから、その内に「分かった。何でもない」と言いだす。
そして同様な宿題はすらすらできるようになる。
同時に数学というものはつまらないことを難しそうに言う変てこな馬鹿らしい学問だと考えるようになる。
ついでに大学の数学の先生もこんなつまらないことを偉そうにしているらしいと軽蔑されてしまうのである。
それで、果たして集合の概念がわかったかというと、それは頗る怪しいと思う。
何となれば略「自分達の周りには括弧がないから」略す
一対一の対応も子供にはやはりつまらないことを偉そうに言うといった印象を与えるようである』

外部ﾘﾝｸ:note.com
大学数学で心折れた人は○○を読もう
赤池エア 2023年8月30日
大学数学で心折れてしまったみんな〜〜〜〜〜〜！！！あちまれェ！！

こんにちは！数学科に入って自尊心が木っ端ミジンコになってしまった男、赤池エアです！
突然ですが、大学でやる数学ってべらぼうに難しくないですか？

つづく

151(3): 05/06(火)14:49 ID:7F7KbKWJ(1/4) AAS
>>144
>言わんとすることは最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら同値使わずにやれるってだけのこと
じゃやってみて
君の言う方法で構成した集合が実数の公理を満たすことを示してみて
大口叩く前に実際にやってみせてよ

167(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/07(水)11:21 ID:w6tWvnRz(1) AAS
>>151
>>言わんとすることは最初から一意の無限10進小数展開を使えば、実数の構成だけなら同値使わずにやれるってだけのこと
>じゃやってみて
>君の言う方法で構成した集合が実数の公理を満たすことを示してみて
>大口叩く前に実際にやってみせてよ

ふっふ、ほっほ
１）高校生でもわかる簡単な話だが・・
　下記Cauchy sequence en.wikipediaの通りです
　つまり、１例で円周率 r=π this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)
　The mth and nth terms differ by at most 10^(1−m) when m < n
２）かように、いま任意の無理数 r'に対して πと同じようにできて（任意有理数も同じ）
　有限小数の列 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )
（注：am+1は、小数第m位の有限小数amに対して一桁多い小数第m+1位の有限小数である。
　これで無限列でコーシー列だね）
（なお、蛇足ながら、一桁ずつ桁が増えるのでコーシー列でかつ一意になる）
３）逆に、有限小数は有理数であるから、上記の有限小数のコーシー列は、有理コーシー列の一種だ
　まとめると
　i)任意の無理数 r'に対してそれの有理コーシー列から代表が一つ決まると、そこから
　　上記 r=π 同様に一桁ずつの有限小数のコーシー列
　 (a0, a1, a2, ... ,am, ... ,an,, ... )が決まる（これは一意）
　ii)逆に、一桁ずつの有限小数のコーシー列は、有理コーシー列である
　従って、一桁ずつの有限小数のコーシー列 ←→ 有理コーシー列（数学的には同値）がなりたつ
４）上記３）項の通り一桁ずつの有限小数のコーシー列が、有理コーシー列（による構成）と同値なので
　あとは、有理コーシー列による扱いの通りです。つまり、四則と絶対値について
　有理コーシー列による議論をそのまま、有限小数のコーシー列に落とせばいい
　こまかい部分は、下記”数学科に入ったら読む本” 福井敏純の ”第7章有理数の完備化95”を見てね（＾＾
（四則の商は多少工夫が必要（分数が混じるのでそれを有限小数に落とす議論（循環節の処理）が必要だろうが））
　p進数での完備化もあるよ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.

外部ﾘﾝｸ[html]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
福井　敏純埼玉大学数学科
外部ﾘﾝｸ:www.rimath.saitama-u.ac.jp
講義ノートなど
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.rimath.saitama-u.ac.jp
数学科に入ったら読む本福井敏純 2025 年1月9日
はじめにiii
0.1数学とは. . . . . iii
0.2数学をわかるようになるには?. . . iv
第7章有理数の完備化95
7.1有理数の完備化...... 96
7.2実数....... 100
7.3 p進数. . . 104

173(3): 05/08(木)08:18 ID:3INPaqvb(1) AAS
>>168
>有理コーシー列の同値類には必ず有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列が含まれること、示せてないやん

ふっふ、ほっほ
・有理コーシー列の同値類の代表を一つとる
・その代表の有理コーシー列から、有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列を簡単に構成できる

＜中学生へのヒント＞（＾＾
εとして >>167 en.wikipedia Cauchy_sequence にあるように
ε→ 10^(1−m) when m < n を考えよう
ここ分るまで、 >>167 en.wikipedia Cauchy_sequence を百回音読してねｗ

176(5): 05/08(木)14:06 ID:8FebRs8e(1) AAS
>>174-175
ふっふ、ほっほ

＜高校生へのヒント＞
・昔読んだ下記”私の数学勉強法”（世界的に認められる研究業績を残した17人の研究者が語る数学勉強法）下記で
　計算尺で簡単なモデル計算をして、それをさらに精度を上げて、ちゃんとした数学モデルにしていくという
　手法が書いてあった。なるほどと思った
・これを一般化すると、まず簡単な具体的モデルで考えてみるってことが大事だね（グロタンディークみたいな抽象論オンリーの天才(変人?
)は別だ）
　いまの場合に当てはめると
　i)簡単に、区間(0,10)の整数部1桁で小数部が無限である数列を考えることにしよう
　ii)古代ギリシャの昔から、人は√2が無理数だと知っていた（aが有理数の平方数でないとき√aは無理数だね）
　iii)『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』>>173 は単調増加列だ
　iv)そうしていま、簡単のためにこの有限小数による数列で、有理数に収束するものは除外する（無理数のみを考える）
　　こうすると、無理数だから 9999・・・のような循環する繰り上がりのシッポは持たないので話が簡単になる
　v)『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』は、なんらかの一般有理コーシー列の同値類に入ることは自明
　　かつ逆は、一般有理コーシー列においてその同値類内に単調増加列が存在するよね（証明は思いつくであろう by ガロア）
　　その単調増加列を使って、それを『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』に落とせば良い
　　要するに、>>173の”εとして ε→ 10^(1−m) when m < n ”
　　十分大きい数Nをとって N < m < n のときに
　　コーシー列の各項は、ある小数の桁まで一致している必要がある（そうでなければ ε→ 10^(1−m) とできない）
　　この一致している部分から『有限小数の桁が一つずつ伸びる形のコーシー列』が構成できる
　　あとは、10^(1−m) のmをもっと大きくできるようなもっと十分大きい数N を取ってこれを繰り返す
　　
正式な証明は、これを丁寧に書けば良いだけだが、余白が狭い by フェルマー
便所板では証明ゴッコはやらない主義なのでこの程度でお茶濁す by スレ主

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.kinokuniya.co.jp
紀伊國屋書店
サイエンスブックス
私の数学勉強法
吉田洋一/矢野健太郎（数学者）
アマゾンレビュー
maru-chin
5つ星のうち5.0 世界的に認められる研究業績を残した17人の研究者が語る数学勉強法。
2018年9月28日に日本でレビュー済み

233(4): 05/12(月)23:05 ID:mjJBPKO4(3/3) AAS
>>231
>１，２，３，４，・・・
>が収束する部分列を持つとかほざく

どこで収束すると言うかによる

272(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/13(火)12:03 ID:abdIykbu(1/2) AAS
>>252 追加

ふっふ、ほっほ
数学科１年で詰んでしまってオチコボレさんになった人が二人いるみたい
グダグダ言っているが、哀れだ

彼らを反面教師として、下記の
”謎の数学者” 『数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む』を
ご覧あれ

謎の数学者氏の解くところを
不肖私なりに補足すると
まあ、定義、レンマ、定理・・その繰り返し
で、これをジグソーパズルに例えれば
定義、レンマ、定理・・が、ジグソーパズルの一つのピースと思うと
大事なことは、ジグソーパズルの最後の完成の絵を早くイメージしてつかむあるいは想像・予測しながら進めていくべし！

別に、ある数学天才が
”ジグソーパズルの一つのピース”をじっと眺めて何時間も沈思黙考一つのピースの意味(や証明)を考え続ける・・
その一つのピースから壮大な数学理論を構想する・・はありうるかも（例えばグロタンディークならね）

しかし、それを凡人がやったらダメ！ｗ
それよりは、下記の謎の数学者の教えに従うべし！；ｐ）

現代数学での実数Rの構成は、いろいろある
コーシー列による構成は、その一つだ
実数Rの構成が、ジグソーパズルだとしてその全体像（“big picture”Terence Tao>>6）
を早く把握することを優先すべきだ。凡人はこちらが是だｗ；ｐ）

(参考)
動画ﾘﾝｸ[YouTube]

数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む。
謎の数学者 2022/06/07

@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

@nohohoii
2 年前
論文の読み方と同じですね。
AbstractとConclusionから読む。

@とんとん-w2f
2 年前
数学書に限らず専門書や技術書に共通する読み方だと思います
技術書は目次から読んで全体像を想像してから読んでます

@自称皇帝
1 年前
初心者でも全体像を考える、概要見てみる、覗いてみるのも大事ですよね。

@サイコロ入りステーキ
2 年前
自分も分からない所を読み飛ばすのがモヤモヤしちゃう人なんですけど、絵の描き方の例えにはよく共感できたので、これからはそういう風なイメージで読み飛ばしていこうと思いました。

288(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/14(水)11:12 ID:euuH4tqB(1/5) AAS
これ面白そう

外部ﾘﾝｸ:thedebrief.org
thedebrief
A Centuries-Old “Impossible” Equation, Once Considered Unsolvable, Finally Has a Solution
クリストファー・プレイン·2025年5月13日
google訳

高階多項式の「近似」解がいくつか発見されてきました。しかし、ワイルドバーガーによれば、これらの解は純粋代数学には属さないとのことです。

ワイルドバーガー教授は、この斬新な解決策を概説した論文の中で、従来の方程式に限界が存在するのは、根号である3乗根と4乗根を用いているからだと説明しています。根号は一般的に、円周率のように無限に繰り返される無理数を表すため、単純な分数では表すことができません。

数学界にとって幸いなことに、ヴィルトバーガー教授は無理数を信じていないと述べている。ヴィルトバーガー教授の数学への最も成功した貢献である有理三角法と普遍双曲幾何学は、根号を使わずに機能する。その代わりに、不可能方程式の新しい解を含む彼の研究は、「冪級数」と呼ばれる多項式の特別な拡張を利用しており、これは根号を使わずに変数xについて無限個の項を持つことができる。

組み合わせ論が救世主となる
この問題を解くための代数方程式としては初めてのものですが、この新しい手法は、数列を表す組合せ論と呼ばれる数学の分野に基づいています。最も有名な数列は「カタラン数」と呼ばれ、任意の多角形、つまり3辺以上の任意の図形を分割する方法の数を表すために使用されます。

「カタラン数は二次方程式と密接に関係していると理解されています」とヴィルトバーガー氏は説明した。「私たちの革新性は、より高次の方程式を解きたいのであれば、カタラン数の高次の類似物を探すべきだという考え方にあります。」

数学者はこれらの数値を 1 次元から多次元配列に拡張し、これまで不可能だった方程式の解を解明しました。

「私たちはこれらの拡張を発見し、それが論理的に多項式方程式の一般解にどのようにつながるかを示しました」と彼は説明した。「これは代数学の基礎となる章の劇的な改訂です。」

幅広い用途への期待

コンピューター科学者のディーン・ルビン博士が共同執筆したこの新たな研究では、新たに発見された数値配列を「ジオード」と名付けています。共著者らは、この配列にはさらなる研究のための「大きな可能性」が秘められていると述べています。

「この新しいジオードアレイの研究は、多くの新たな疑問を提起し、組み合わせ研究者を何年も忙しくさせるだろうと予想しています」とワイルドバーガー氏は述べた。「実に、他にも多くの可能性があります。これはほんの始まりに過ぎません。」

293(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/14(水)12:12 ID:euuH4tqB(2/5) AAS
>>289-290
下記ほいよ

　>>288 の根拠投稿論文
American Mathematical Monthly らしいがどの程度権威があるかは知らないが
下記
”Received 27 Dec 2023, Accepted 07 Jun 2024, Published online: 08 Apr 2025”
なので、それなりに査読はされたみたい

　>>288の記事は、ちょっと盛っているところはあるとしても
根も葉もない話ではないだろう（根と葉くらいはある）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:research.unsw.edu.au
UNSW Sydney
Select Publications
By Professor Norman J Wildberger

Journal articles
Wildberger NJ; Rubine D, 2025, 'A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode', American Mathematical Monthly, 外部ﾘﾝｸ:dx.doi.org

外部ﾘﾝｸ:www.tandfonline.com
A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode
N. J. Wildberger Dean Rubine
Pages 383-402 | Received 27 Dec 2023, Accepted 07 Jun 2024, Published online: 08 Apr 2025

346(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/18(日)14:52 ID:kvRHpDhK(5/10) AAS
>>320 追加
外部ﾘﾝｸ:nazology.kusuguru.co.jp
ナゾロジー
数学嫌いこそ読んでほしい！　フィールズ賞を受賞した4人の数学者のインタビュー
2022.07.07 川勝康弘海沼賢
「受賞の知らせが迷惑メールの欄に届いていた」ユーゴ・デュミニル-コパン氏
最初に紹介するのは「相転移の確率論」における長年の問題を解決した「コミュ力ギガ盛り系数学者」のユーゴ・デュミニル-コパン氏です

質問者：どんな経緯で数学者になったのですか？
デュミニル-コパン氏：はじめは天文学に興味があり、数学者が実在する仕事とは考えられませんでした
しかし高校から大学にかけて、次第に数学が好きになり、数学の教師になることを目指すようになりました
「（数学の）研究」の面白さを実感したのは大学院に入ってからで、そこから数学者に向けて一直線でした

質問者：学生時代には、どんな数学の分野が好きでしたか？
デュミニル-コパン氏：学生時代には好きな数学の分野はありませんでした。他の数学者が恋に落ちてしまうような分野を私は素通りしてきたのです
しかし確率論だけは違いました。確率論は私が好きな全てを兼ね備えていたのです
特に物理現象を統計的に解釈する統計物理学との出会いは素晴らしいものでした
（※氏がフィールズ賞を受賞したのは確率論の分野での功績がみとめられたからです）

質問者：研究する対象はどのように選んでいるのですか？
デュミニル-コパン氏：証明しようとする結果と過程に美しさがあること、そして解決の過程が段階的に分解ができることが重要だと思っています
美しさを感じることは創造性を発揮するために必須であり、段階を経ることは長期的な目標を達成するのに必須だからです
また私にとってアイディアというものは「集団で出てくるもの」であり、最も必要な瞬間には出てきてくれません
段階を踏んで組織的に進めることは、アイディアを生かすためにも重要となります
ただ現実問題として、常に段階的なアプローチが上手くいくわけではありません
興奮のあまり、あらゆる考えが湧き出て、原稿が何ページも積み重なり、そして共同研究者とのコミュニケーションも非常に激しくなる瞬間があります
この瞬間は非常に疲れますが、私は科学者というのは、この瞬間のために存在すると考えています

つづく

367(3): 05/20(火)10:31 ID:9Dv5LoIH(2/9) AAS
>>362-364
ふっふ、ほっほ
ご苦労様です

御大：頭文字 OT のダジャレ
これについては、以前どこかで書いた；ｐ）

ここ５ｃｈ数学便所板でプロ数学者はいまや貴重な存在です
昔、コテハンの”猫”さんが、以前何人かプロらしき人がいたという

それも昔で、いまはど素人ばかりｗ
トンチンカンｗｗ

その点、御大はさすがプロで
私の知らないことを沢山ご存知ですね（＾＾

御大以外の発言は
殆ど知っている話ばかりですｗ；ｐ）

432(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/03(火)11:32 ID:KoZOosCe(1/7) AAS
＜AI Copilot さんがどれくらい賢いか？＞

スタート
いま数学の多変数複素関数論で話題になっていることは何ですか
　↓ （google英訳（を若干手直し））
What is the hot topic right now in the theory of functions of several complex variables ?

Copilotさんの回答1
One of the current hot topics in the theory of functions of several complex variables is the (L^2)-theory and its applications. Recent research has focused on the (L^2) existence theorem and (L^2) extension theorem, which play a crucial role in understanding positivity conditions in complex geometry. These results are being used to develop criteria for Griffiths positivity and Nakano positivity of Hermitian metrics on holomorphic vector bundles.
Another active area of research is the study of plurisubharmonic functions, which are essential in complex analysis and geometry. Researchers are investigating the strong openness property and stability of multiplier submodule sheaves associated with singular Nakano semipositive Hermitian metrics.

Would you like more details on any of these topics? I can help break them down further!

参考Link（殆ど下記 Abstract通り？）
外部ﾘﾝｸ:link.springer.com
Home Theoretical and Mathematical Physics Article
Recent progress in the theory of functions of several complex variables and complex geometry
Research Articles
Published: 01 February 2024
Volume 218, pages 163–176, (2024)
Cite this article
Abstract
We give a survey on recent progress on converses of L^2 existence theorem and L^2
extension theorem which are two main parts in
L^2 -theory, and their applications in getting criteria of Griffiths positivity and characterizations of Nakano positivity of (singular) Hermitian metrics of holomorphic vector bundles, as well as the strong openness property and stability property of multiplier submodule sheaves associated to singular Nakano semipositive Hermitian metrics on holomorphic vector bundles.

つづく

433(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/03(火)11:32 ID:KoZOosCe(2/7) AAS
つづき

さてさらに
Yes, please more.

Copilotさんの回答2
Absolutely! Let's dive deeper.
(L^2)-Theory in Several Complex Variables
The (L^2)-method is a powerful tool in complex analysis, particularly in solving the (\bar{\partial})-equation.
This approach, pioneered by Lars Hörmander, provides existence theorems for holomorphic functions under certain curvature conditions. 1)
Recent research has refined the Oka–Cartan theory using (L2)-methods, leading to precise on hlomorphic extension. 2)
The Bergman kerenel, a fundamental object in complex analysis, has olso been extensively using L2-techniques.2)

Plurisubharmonic Functions
Plurisubharmonic functions are crucial in complex analysis and geometry.
They generalize subharmonic functions to multiple complex variables and play a key role in defining pseudoconvex domains.3)
These functions are used to study multiplier ideal sheaves, which have applications in algebraic geometry and singularity theory. 4)
The Levi problem, which characterizes domains of holomorphy, was historically solved using plurisubharmonic functions.3)
Would you like to explore specific applications or recent breakthroughs in these areas?
I can help break them down further!

参考
1)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-fourier.ujf-grenoble.fr
Lars H¨ormander and the theory of L2 estimates for the ∂ operator Jean-Pierre Demailly

2)
外部ﾘﾝｸ:link.springer.com
L² Approaches in Several Complex Variables
Towards the Oka–Cartan Theory with Precise Bounds
Authors: Takeo Ohsawa Book 2018

3)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Plurisubharmonic function

4)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ucdavis.edu
Plurisubharmonic Functions and Pseudoconvex Domains Thomas Jackson June 8, 2018
(引用終り)
以上

450(3): 06/03(火)20:06 ID:j7mZM6pp(1/3) AAS
認知症かどうかわからないが
ビタミンB12の不足による障害が2回生じた

563(12): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/15(日)12:01 ID:lv2xCBEK(5/12) AAS
さすがですね
下記で、赤ペン先生の補習をしておきますね

Inter-universal geometry とABC 予想57
2chｽﾚ:math
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
　ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあるので、集合の積∩は任意A つまり全てのA と読めます
　ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載はこうだとしても・・
　任意Aあるいは全てのAの集合の積∩を考えるというのは当然突っ込みどころであります
3）下記の筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記数理論理学IIでは
　ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。

外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学II

P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
略
そのようなが存在することを主張するのが無限公理である．直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．無限公理によって保証される集合は
・・・
しかし余分な元を含んでいるかも知れない．
そこでを条件
略
を満たす最小の集合として定義したい：無限公理によって保証される無限集合を一つ選び，
略
とする
このようにすれば、ωは集合であり，φ(x)を満たす最小のものになる（もちろんのX取り方に依存しない）．

564(3): 06/15(日)12:32 ID:Eap/oGjV(2/13) AAS
>>563
>2）で、wikipediaの記載はこうだとしても・・
>　任意Aあるいは全てのAの集合の積∩を考えるというのは当然突っ込みどころであります
どう突っ込むと？

569(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/15(日)14:22 ID:lv2xCBEK(6/12) AAS
>>564-565
(引用開始)
>3）下記の筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記数理論理学IIでは
>　ここは、少し技巧的な記述をしています
∀xφ(x)はまさに「任意A」だろ。
共通部分を用いた定義と本質的な違いは無いから君は>>564に回答できない。バカだねえ。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
筑波大坪井明人先生に、たてつくか？ｗ
元気があってよろしい！ｗｗ
だが、普通は >>563の数理論理学II pdfは

1）講義用テキストで、講義に使ったもので（何回講義したかは知らず）
　一応大きなバグは取れているはず
2）坪井明人先生は、見るところこれら基礎論や数理論理がご専門で
　”共通部分を用いた定義と本質的な違いは無い”と見る君が滑っているのでは？
　つまり、このPDF P9の記載
　”無限公理によって保証される無限集合X を一つ選び”と
　”ω= {y ∈X：・・・} ”の記述
　この二つが効いてる
　そもそもの”無限公理”の規定は、自然数Nを含む集合の存在を規定するのみであって
　つまり、本当は自然数Nの存在を公理としたいのだが、自然数Nが未定義なので
　まずは、単純に”無限公理”で無限集合の存在を言って、そこから次に
　自然数Nの存在を導くという二段作戦なのだ
3）繰り返すが、もし PDF P9の記載がバグっていて
　それを、講義を受けた筑波大生が見過ごすなど・・
　いや、そもそも、上記の2)の記載は、きっとなにかタネ本（or 論文）があって
　そこから採用したと考えられるから、バグの可能性は極めて低いだろう

まあ、PDF P9の記載の辺り ”1.1.9 無限公理” の節をじっくり読み返してみな
君のはやとちりが、分るんじゃないの？
で、なお坪井明人先生の間違いと思うならば、坪井明人先生にメールしてあげてねｗ；ｐ）

571(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/15(日)15:45 ID:lv2xCBEK(7/12) AAS
>>564
(引用開始)
>2）で、wikipediaの記載はこうだとしても・・
>　任意Aあるいは全てのAの集合の積∩を考えるというのは当然突っ込みどころであります
どう突っ込むと？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
　>>563のように
自然数の集合Nを
・”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”
ここに Aは無限公理により存在する集合を任意に（全て "∀"）選んだものである
とするのは
素朴ではあるが、問題がある
つまり、カントール集合論で、自然数Nは無限集合で最小の集合であるのだが
問題は、無限公理により存在する集合全て "∀"が、きちんと定義できているのか？
だ
簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然積集合の大きさが異なる
つまり、無限公理の集合全て "∀"がきちんと尽くされたという保証がないと
最小無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる

なお、>>569 筑波大坪井明人 PDF P9からの記載のぶりは
下記 en.wikipedia xiom of infinityの Extracting the natural numbers from the infinite setからの
”Alternative method”の記載類似と思われる
おそらく、種本が同じなのだろう

(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Alternative method
An alternative method is the following. Let Φ(x) be the formula that says "x is inductive"; i.e.
Φ(x)=(∅∈x∧∀y(y∈x→(y∪{y}∈x))).
Informally, what we will do is take the intersection of all inductive sets. More formally, we wish to prove the existence of a unique set
W such that
∀x(x∈W↔∀I(Φ(I)→x∈I)). (*)
For existence, we will use the Axiom of Infinity combined with the Axiom schema of specification.

This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If I⊆ω is inductive, then also
ω⊆I, so that I=ω.

588(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/16(月)07:07 ID:8WY20Dqi(1/2) AAS
>>586-587
ふっふ、ほっほ
ゴマカシに入ったなｗ；ｐ）

1）すっきりの度合いが違うだろ？
　即ち、和記号Σや積記号Πならば、普通その範囲を明示するべきだろ？
　Σ n=1〜∞とか Σ m,n=1〜∞とかね
　では問う記号∩について同じことを要求する
　きちんと、記号∩の定義を書け！
　ここ、ツッコミどころだねｗ
2）”実質同じ”？証明は？上記1）項のあと証明やってみてｗ；ｐ）
3）ja.wikipediaは、しばしば素人さんが編集している
　過誤、タイポ、勘違いなどが入る可能性がある
　一方、坪井明人氏は数理論理学、基礎論のプロ数学者であって
　かつ数理論理学II は、学部の講義で使われたと推察される
　なので、多くの人の目に触れた枯れたテキストだ
　だから、後者が信頼できると思うよ
　前者は、マユツバで読むべし！

597(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/16(月)22:11 ID:8WY20Dqi(2/2) AAS
>>589-596
ID:rbeJ8doGは、御大か

囲碁将棋をやらない人は、プロのすごさが分らない
おサルさん、君は御大には”セイモクフウリン”だぞ
まあ、レベルが低すぎると相手のレベルの高さが分らないものだが；ｐ）

そもそも>>563より
Inter-universal geometry とABC 予想57
2chｽﾚ:math
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

補足すると
”>無限公理が存在を主張する集合全体”について
これ私の発言なのだが、ツッコミが・・
つまり、ZFCなどの無限公理により、無限公理の存在のみを認めるが
存在する無限集合が、はたして自然数の集合Nであることは保証しない
カントールやデデキントの素朴集合論では
自然数の集合Nが、最小の無限集合であって、かつ任意の無限集合はすべてNを含むことは既知
それを、公理的に構築するのがZFCなどの公理の目的
だから、結論を先取りすると
出来た無限集合全体の最小部分、全ての無限集合の共通部分が、自然数の集合Nだと言えるのです（cf.カントールの順序数理論）

ところで、上記にプロ数学者のするどいツッコミが・・
”無限公理が存在を主張する集合全体？”と入ったのです
確かに、そこはツッコミどころでは、あった（＾＾

そこで見つけたのが、>>563の数理論理学II 筑波大坪井先生PDF 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
だった

今回は追加で下記をば（こいつは、いつものように jp.wikipedia 無限公理から辿れます）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of infinity
”Extracting the natural numbers from the infinite set”があり
google訳を抜粋する。式も略すが、∩は使われていない！（＾＾
（下記の”非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。より正式には、唯一の集合Wの存在を証明したいのです”を百回音読してね）
　記
”無限集合I は自然数の上位集合である。自然数自体が集合を構成することを示すために、指定の公理スキームを適用して不要な要素を削除し、すべての自然数からなる集合Nを残すことができる
自然数を抽出するには、どの集合が自然数であるかを定義する必要があります。自然数は、外延公理と帰納公理以外の公理を仮定せずに定義できます。つまり、自然数は0かその次の要素のいずれかであり、その各要素は0か、その次の要素のいずれかです。正式な言葉で言えば、定義は次のようになります
略
もっと正式にはこうです:
略
代替方法
代替の方法は次のとおりです
Φ（×）「xは帰納的である」という式である。つまり
略
非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。より正式には、唯一の集合Wの存在を証明したいのです。
略
つまり
Wは、Ｉは、他のすべての帰納的集合の元でもある。これは明らかに（*）の仮定を満たす
一意性については、まず、(*)を満たす任意の集合はそれ自体が帰納的であることに注意する
略
これらの方法は両方とも、 2階算術の公理を満たすシステムを生成します
(引用終り)
以上

614(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/17(火)14:13 ID:5DT6XHJJ(1/2) AAS
>>606-613
ID:imHVDh7R は、御大か
巡回ありがとうございます。

旧帝N大 OTゼミでも
口先だけで、ゼミを”しのぐ”ことを考えるヤカラがいる
大概、黒板ハリツケの刑だｗ　；ｐ）

とつぜん”部分集合族”という用語で、矛先をそらすか？ｗ
どっこい、数学科のゼミはそれを許すような甘いものではない

さて、世に ”存在定理”というものがある（下記）
AIさんが「高木の存在定理」とか例示するんだ
「代数学の基本定理」は、ja.wikipediaの例だ

”存在公理”という言葉はないが、 ”存在定理”と同様に
存在のみを保証し、その具体的な性質については、あまり触れない公理がある
典型例が、選択公理で選択関数の存在のみを保証する
もう一つの例が、無限公理だろう。無限集合の存在を主張するが
無限がいくつあって、それがどんなものかは、示されない
その無限公理の主張する具体的でない無限集合から
自然数の集合Nを抽出するそれが >>605 の Axiom of infinity ”Extracting the natural numbers from the infinite set”だね

”部分集合族”ね。ゴマカシでしょｗ　；ｐ）

(参考)
google検索：存在定理
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります。）
存在定理とは、数学において、ある条件を満たす対象の存在を保証する定理の総称です。具体的にどのような対象が存在するかは示されない場合もあります
例
高木の存在定理:
類体論における重要な定理で、代数体の合同群とアーベル拡大の関係を述べています
存在定理の特徴:
・「ある対象が存在する」ということを保証するだけで、具体的な対象の構成方法や求め方を示すものではない場合があります
・存在を示すことで、その後の研究や問題解決に繋がる手がかりを与えることがあります
・数学の様々な分野で、存在定理が重要な役割を果たしています
存在定理は、数学における証明や問題解決において、対象の存在を前提として議論を進めることができるため、非常に重要な役割を果たしています

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
存在定理（英: existence theorem[1]または英: theorem of existence[2]）とは、何らかの数学的対象の存在をいう定理の総称。定理の内容や証明において、対象の具体的な構成方法は必ずしも示されない
具体例
代数学の基本定理
中間値の定理

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
類体論の高木の存在定理とは、代数体 K の一般化されたイデアル類群に対してそれに対応する K の有限次アーベル拡大が存在するという定理である
歴史
存在定理は高木貞治の論文 (1915) で証明された[8]。その後、高木は「アーベル拡大すなわち類体」という類体論の基本定理に到達し、結果を Takagi (1920) にまとめた[9]。これらの研究は第一次世界大戦の最中になされ、1920年の国際数学者会議で発表された。1920年代の類体論の古典的理論の発展に主導的な役割を果たした

625(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/18(水)10:35 ID:1ZjEJMOG(1/4) AAS
>>621-624
ふっふ、ほっほ

(引用開始)
>>∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
>>はAの部分集合族の共通部分。範囲の明示なんて要らないよｗ
オチコボレ君はなんで範囲の明示が要らないかチンプンカンプンなんだろうね。
添字付けられた集合族ではないからそもそも範囲という概念が無いんだよｗ
(引用終り)

まあ、素人考えだな
（普通ではあるが、公理的集合論にはなじまない）

ツッコミどころは
１）”旅の途中”＊）
２）∩（集合積）は、俗にいう構造敏感だということ
（　＊）”旅の途中”という昔流行った歌がある外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgなど）

さて、まず１）について、そもそも公理による無限集合N（自然数の集合）の構築について
素朴には、ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合にすればよかんべだが

問題は、ラッセルパラドックスで、無限に関する操作を無制限に認めるのはまずってことだ
そこで、集合論の公理を設定して、抑制的に集合操作をしてカントールやデデキントの素朴集合論の構築をしようとなった
いまは、”旅の途中”で無限集合N（自然数の集合）さえ、まだ得ていない

ちょっと脱線するが、誰しも考えるのは素朴単純に公理として
”ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて、集合Nが出来た”（0,1,2,3・・・たちはノイマン後者関数による）
を公理として決めればよかんべと思う
ところが、次には自然数の集合Nより大きな集合を認めるかどうかが問題になるのです
そこで、公理としては自然数の集合Nを含む大きな集合の存在を公理として認めて、Nはそこから落としてくる
この方が公理としてキレイなのだ

次に、２）について >>571から再録すると
”簡単に例示すると、5つの集合A,B,C,D,Eにおいて
∩{A,B,C} 3つだけの積集合と
∩{A,B,C,D,E} 5つ全部の積集合とでは
当然積集合の大きさが異なる”
繰り返すが、100個の集合の積∩に新たに一つ集合が増えると
∩{100個} ≠∩{101個}となる可能性が高いというかそう考えるべきなのだ
記号∩を使う問題点は、そこにある

つまり、冒頭の∩の式で無限の集合全て "∀"がきちんと尽くされたという保証がないと
最小であるべき無限集合たる自然数Nの定義に曖昧さが残ることになる
ところが、そもそも”無限集合”の概念が確立されていない
（”旅の途中”では無限集合族などを無造作に使うべきではない）

対して、>>571 Extracting the natural numbers from the infinite set 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
や、>>569 筑波大坪井明人 PDF P9 がやっていることは
無限公理で保証されたNを含む無限集合の部分集合として再度ペアノ公理による 0,1,2,3・・・をすべて集めて部分集合として構築するってことだね
しかも、公理で許される集合操作のみを使ってってこと

君の部分集合族の議論は、最終段階では正しいだろうが
いまは、”旅の途中”ってことよ

629(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/18(水)17:02 ID:1ZjEJMOG(2/4) AAS
>>626-628
素人が、グダグダ言い訳している

さて
１）なぜ無限公理が必要なのか？
　その答えが下記渕野”Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化”
　P173-174 "3 無限の存在証明"に記されている通り
　「無限の存在が集合論の他の公理から独立である」ってこと
２）集合論の公理は”スッキリ”していることが求められる
　なので、>>625に示したように単に自然数の集合Nの存在だけを公理とするのではなく
　Nを含む（Nより大きな）集合の存在を公理として認めて、それ以外の公理系から
　もし”Extracting the natural numbers from the infinite set”（下記）が可能なら
　その方がスッキリだってこと（我々が求めているのはそのさらに先で N→Q→Rと順序数*)の構築なのだから）
　*)外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
３）下記に ”Extracting the natural numbers from the infinite set”を
　全文引用しておいたから、百回音読してね
　文中で、axiom schema of specification 、axiom of extensionality、 axiom of induction
　など使う公理が明示されているでしょ？そして最後”I=ω”が結論ですよ！

素人が、グダグダ書いても
なんの格好付けにもなってないよｗ
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
RIMS講究録
Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化渕野昌(神大)2011
P170
無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2版の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて知ることになったと書いている).いわんや，形式的推論の体系や，その体系の完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekindの行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである
P173
3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない．
P174
晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある
P176
集合論の基礎に関してDedekind の越えられなかった壁は，Zermelo やFraenkelが易々と越えることができたが，このZermelo も後にG"odel の不完全性定理を全く理解できず，不完全性定理以降の数学の発展に取り残されることになっ
た. 1960 年代に強制法の理論が確立されたときにも，この手法を理解できなかったことで，多くの集合論の研究者が脱落していった

つづく

644(4): 06/20(金)20:39 ID:LS/4Ckc6(1/5) AAS
>>641
ふっふ、ほっほ
おサルさんか >>5

囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります
相手の打つ手について回るのは、初心者や中級者であって
有段者をめざすならば、まずは手抜きから考えるべし（もっと大場、急場があるならそちらを打つべし）

これを、君の>>641に当て嵌めると
君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ）
以上

(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:ss406167.stars.ne.jp
≦囲碁上達ヒント集≧
第一部思想・考え方編
碁の主導権と先手
◎　序盤の布石作戦から中盤の戦いを通じて、プロでもアマでも、碁はお互いのぺ一スの争いです。どうしたら自分の得意の局面に導けるか、対局者の苦心もそこにあります。碁盤のペース争いに勝つことこそ勝利への最短距離といえるのです。（坂田栄男）

◎　ヨセに限らず、先手、後手の問題はきわめて重要な要素です。（曲励起）

◎　先手の意味をもっと拡大して、先手すなわち主導権というふうに解釈すれば、序盤から終盤に至るまで、碁はすべて先手をめぐる争いということができます。特にヨセでは、打つ箇所がある程度限定されてきている段階なので、先手が何にもまして貴重になっているのです。（坂田栄男）

649(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/20(金)22:24 ID:LS/4Ckc6(3/5) AAS
>>632 戻る
(引用開始)
>無限の存在が集合論の他の公理から独立である
無限の存在？　なにそれ？　無限集合の存在だろ？　バカなの
で、誰が従属と言ったの？　
(引用終り)

・独立 vs 従属？ああ、線形代数と勘違いの条件反射かよ、おまえ。お里が知れるな、オチコボレさんよｗ
・”無限の存在”は、渕野先生の表現から借用したんだよ >>629の "P173 3 無限の存在証明"な
　公理的集合論以前でも、古代ギリシャの昔から、”無限”の概念は人類は知っていた（アリストテレスの著作がある）
　それ以外にも、ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など
　ところで、カントールとデデキントさんは、無限を無限集合で扱うことを考えたのです
　なので、渕野先生 >>629 "P173 3 無限の存在証明"は、これで意味は通じるｗ　；ｐ）
・さて、「無限の存在が集合論の他の公理から独立」を語るには
　極限順序数（下記）から始めるのが分かり易いだろう
　下記の通り、極限順序数でノイマンの後者関数とフォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば
　自然数の集合ω＝Nであり、ωは”後続順序数でない”という性質を持つ
　だから、有限の順序数から後者関数を使うだけでは、ω＝Nには到達できないのだ
・だから、無限公理が必要で、但し”自然数の集合ω＝N”の存在を、まず公理と置いても良いのだが
　もっと賢いのは、ω(＝N)を含みそれより大きい集合を一気に認めてしまうことだね
　つまりカントールの順序数 ωのあとも, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω・・とやることが分っているのだからね
　そしてωは、部分集合として ωより大きい集合から取り出して構成すれば良いんだよ
（おっと "∩"は使わない方がいいぞ！ｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う
あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び・・
0, 1, 2, 3, ...., ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), .., ω + ω・・

653(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 06/20(金)23:30 ID:LS/4Ckc6(4/5) AAS
>>649 補足

無限公理で、仏版（fr.wikipedia）が、分かり易い
下記の通りで、やろうとしているのは
”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される（Aは ω を集合として定義できるようにするためにのみ介入するが、ω はAに依存しない）”なの
だが
これを、公理のみを使って実現するのです（>>630 で en.wikipedia ”Axiom of infinity”も紹介ずみ）
うかつに”∩”は使わないのです！ｗ　；ｐ）
（和訳と英訳と仏原文を並べておいたので百回音読してねｗ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
Axiome de l'infini
以下google和訳
無限公理

自然数の集合
確かに：
・A をCl( A )を検証する集合とし、その存在は無限公理によって保証される。すると、集合 ω の存在は内包公理スキームによって保証され、その一意性は外延性公理によって保証される。これは、ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される（Aは ω を集合として定義できるようにするためにのみ介入するが、ω はAに依存しない）。
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ; （注）
・逆に、ωを自然数を要素とする集合とすると、ωはCl(ω)を証明します。
（注）：Ent( x ) の定義は、この直前にあるので、原文ご参照

google英訳
ndeed :
・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
・conversely, let ω be a set whose elements are the natural numbers. Then, ω verifies Cl(ω).

仏原文
En effet :
・soit A un ensemble vérifiant Cl(A) dont l'existence est assurée par l'axiome de l'infini. Alors, l'existence de l'ensemble ω est assurée par le schéma d'axiomes de compréhension et son unicité par l'axiome d'extensionnalité, en définissant ω comme l'intersection (donc le plus petit au sens de l'inclusion) de tous les ensembles contenant 0 et clos par successeur (A n'intervient que pour pouvoir définir ω en tant qu'ensemble, mais ω ne dépend pas de A) :
ω = { x ∈ A | Ent(x) } ;
・réciproquement, soit ω un ensemble dont les éléments sont les entiers naturels. Alors, ω vérifie Cl(ω).

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