[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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1(13): 2009/06/15(月)19:00 AAS
AA省
626: 2010/02/14(日)03:02 AAS
>>624
〔補題〕
a,b,c > 0 のとき |⊿| ≦ (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc,
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a), (差積)
(略証)
相加･相乗平均より
2g = (a+b+c)(ab+bc+ca) -9abc +⊿ = 2(ab^2 +bc^2 +ca^2 -3abc) ≧ 0,
省9
627(1): 2010/02/16(火)08:58 AAS
cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。
（xは任意の実数）
628(1): 2010/02/16(火)13:49 AAS
-1≦cosx≦0のときは明らかだから、0<cosx≦1のときを示せばいいんだな。
629: 2010/02/16(火)23:01 AAS
>>627-628
・ある整数n に対して |x'| = |x-2nπ| < π/2,
∴ |x| < π/2 としてもよい。
|sin(x)| ≦ |x| より
|sin(cos(x))| < |cos(x)| = cos(x) ≦ cos(sin(x)),
[前スレ.343]
[東大入試作問者スレ１５.148, 156]
630(1): 2010/02/21(日)23:06 AAS
>>616
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u, とおく。
(左辺) = (a/s + s/b)(b/s + s/c)(c/s + s/a)
= {F_1 + 5(st-9u)}/u - (s^3 -27u)/(27s^3) + (10/3)^3,
(右辺) = (41/10)(st-9u+⊿)/u + (10/3)^3,
{(左辺) - (右辺)}･u = F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)u/(27s^3) -(41/10)⊿
≧ F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)⊿, (← s^3 ≧ 27u)
省8
631(2): 2010/02/21(日)23:09 AAS
>>630
〔補題〕
a,b,c >>0 のとき
F_1 + (9/10)(st-9u) - (s^3 -27u)/(27･27) -(41/10)|⊿| ≧ 0
(略証)
m = min(a,b,c), {a,b,c} = {m, m+x, m+x+y}, x,y≧0
とおいて m,x,y で表わすと、
省12
632: 2010/02/23(火)00:25 AAS
>>631
詳細は････
(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
= {1-(1/27)^2}(1.7914835164835x^3 -1.4184065934066x^2･y -1.2098901098901xy^2 + y^3)
= {1-(1/27)^2}(1.1914345026367x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.0018743091451x^3 + 0.0480990601188xy^2
≧ 0,
633: 632 2010/02/23(火)23:27 AAS
>>631 (訂正)
(9/5 -8/729)x^3 + (-7/5 -12/729)x^2･y + (-6/5 -6/729)xy^2 + {1-(1/27)^2}y^3
= {1-(1/27)^2}(1.79148351648352x^3 -1.41840659340659x^2･y -1.20989010989011xy^2 + y^3)
= {1-(1/27)^2}(1.19143450263671x + y){√(3/2)･x - y}^2 + 0.00432582046736996x^3 + 0.0480990601188323xy^2
≧ 0,
634(1): 2010/03/11(木)23:23 AAS
〔出題44〕
P(x) はn次の整式で、任意の実数xに対して P(x) ≧ 0 が成り立つ。
このとき、任意の実数a,xに対して
P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n) ≧ 0,
が成り立つことを示せ。
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
635(1): 2010/03/11(木)23:27 AAS
>>634
(略証)
a=0 のときは明らか。
a≠0 のとき
Q(x) = P(x) + a･P '(x) + (a^2)P "(x) + …… + (a^n)P^(n),
とおく。 題意より
0 ≦ P(x) = Q(x) - a･Q'(x) = -exp(x/a){a･exp(-x/a)･Q(x)} '
省7
636: 2010/03/12(金)00:03 AAS
>>635
(略証)
ｶﾞｯ
637(3): 2010/03/17(水)13:04 AAS
今年の滋賀医大の難問。
実数全体を定義域とする，2回微分可能な関数 f(x) が，任意の実数 x に対して
・f′(x) > f′′(x)
・f(x)>>0
を満たすとき，
f(x) > f′(x) > 0
が成り立つことを示せ。
638: 2010/03/19(金)00:43 AAS
>>637
{f'(x)exp(-x)}'={f''(x)-f'(x)}exp(-x)<0
だから f'(x)exp(-x) は減少。よって f'(a)≦0 なる a が在るとすると、
x>a で常に f'(x)<0, f''(x)<0 となるがこれは f(x) > 0 に反する。
よって f'(a)≦0 なる a は無い。
次に、仮定により f'(x)-f(x) が単調減少だから、
f'(a)-f(a)≧0 なる a が在るとすると、c<a なる c に対して
省2
639(1): 2010/03/19(金)09:05 AAS
x<c のとき常に f'(x)>f'(x)-f(x)>f'(c)-f(c) > 0 が成り立つ事になるが、
これは f(x) > 0 に反する。
がわかんない
おしえてちょ
640: 2010/03/19(金)16:31 AAS
>>639
丁寧にまとめてみました。
外部ﾘﾝｸ:wiki.livedoor.jp
641: 2010/03/19(金)18:09 AAS
すんばらしいどす
642(1): 2010/03/20(土)10:22 AAS
TeXって、符号から始まるとき、間隔が0になってしまうのは仕様？
例えば、a-bと、-b
643: 2010/03/20(土)14:35 AAS
>>642
\phantom 使え
644: 2010/03/20(土)18:44 AAS
オペラ座の怪人？
645: 2010/03/26(金)17:34 AAS
>>637
実際は誘導付きだったんだね。
高校の範囲でできる。
646: 2010/03/27(土)04:06 AAS
〔出題〕
a[k] ≧0 (1≦k≦n, 2≦n∈N), ∑[k=1,n] a[k]^2 =1 のとき
Π[k=1,n] (1-a[k]) ≦ (1/2)(√2 - 1)^2,
を証明せよ。（だるまにおん）
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
647(1): 2010/04/11(日)21:52 AAS
〔問4〕
正の実数x,y,zに対し,
(1+xy+xz)/(1+y+z)^2 + (1+yz+yx)/(1+z+x)^2 + (1+zx+zy)/(1+x+y)^2 ≧ 1,
が成り立つことを示せ。（2010年度 日本数学オリンピック本選 問4)
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
casphy - 高校数学 - 不等式
648: 2010/04/11(日)22:05 AAS
>>647
コーシーで一発でつね。
(1+xy+xz){(x+y+z)/x} ≧ (1+y+z)^2, など。
649: 2010/04/11(日)22:06 AAS
〔出題330〕
a,b,c>>0 a+b+c=1 のとき
a/√(c+a) + b/√(a+b) + c/√(b+c) < (5/4)√(a+b+c),
を証明せよ。（だるまにおん)
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
casphy - 高校数学 - 不等式
650: 2010/04/23(金)21:37 AAS
こんなのどうでしょう。
a, bをn次元の単位ベクトルとする。
cをc_i = (a_i b_i) / √(Σ(a_i b_i)^2)、uをu_i = 1 / √n で定める。
(a, b, c, uは全てn次元の単位ベクトル)
この時、|c-u|<=|a-u|+|b-u|を証明せよ。距離はユークリッド距離。
651: 2010/05/02(日)00:14 AAS
>>2に追加
[12] 大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
連載 「不等式の骨組み」 、栗田哲也、全12回、各4ページ
652: 2010/05/08(土)08:17 AAS
正の数 a,b,c,d が、a＋b＝ab，c＋d＝2 を満たすとき、a6c7＋b6d7 の最小値は？
653(1): 2010/05/08(土)08:18 AAS
正の数 a,b,c,d が、a＋b=ab，c＋d=2 を満たすとき、a^6*c^7＋b^6*d^7 の最小値は？
654(2): 2010/05/08(土)23:54 AAS
関数f(x)は、{f(x)}''>>0である。
このとき自然数nに対して、次の不等式を示せ。
{1/(n+1)}*{f(0)+f(2+)+…f(2n)} > (1/n)*{f(1)+f(3)+…+f(2n-1)}
655: 2010/05/09(日)06:21 AAS
G=a^6*c^7＋b^6*d^7-t(a＋b-ab)-s(c＋d-2)
Ga=6a^5c^7-t-bt=0,6sc/a=bt
Gb=6b^5d^7-t-at=0,6sd/b=at,c=d
Gc=7c^6a^6-s=0
Gd=7d^6b^6-s=0,a=b
2a=a^2,2c=2
c=d=1,a=2
656: 2010/05/09(日)06:25 AAS
G=2a^6c^7=2^7
657: 2010/05/09(日)13:48 AAS
数学ガールはコンボリューションってかいてあったのでラプラスかと思ったら
nCrじゃないか。。。あれで１８００円は高すぎる。２，０００円でクイックマスター
微分積分を買ってきた。定義もチャンとかいてあるからお得だ。高２に読ませてみる。
658: 2010/05/09(日)20:15 AAS
>>654
f " > 0 より f は下に凸で、
g(j) = f(j-1) -2f(j) + f(j+1) >>0
∴ n･∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j) > 0,
[ ] はガウスの括弧。
>>130-136
659: 2010/05/10(月)00:13 AAS
>>>654って有名問題だったのか。
660: 2010/05/10(月)19:52 AAS
>>653
f(x) = x^7 は x>>0 で下に凸だから、
{b･f(x) + a･f(y)}/(a+b) > f((bx+ay)/(a+b)),
(b･x^7 + a･y^7)/(a+b) > {(bx+ay)/(a+b)}^7,
両辺に (a+b)(ab)^6 を掛けて
a^6･(bx)^7 + b^6･(ay)^7 > {ab/(a+b)}^6・(bx+ay)^7,
ここで bx=c, ay=d とおく。
省3
661: 2010/05/19(水)15:47 AAS
最大値と最小値の数学 上・下
外部ﾘﾝｸ:www.springer.jp
外部ﾘﾝｸ:www.springer.jp
不等式ヲタ向けですな…
下巻は「AM-QM」と誤植しているが…
662(1): 2010/05/24(月)22:25 AAS
〔問題〕
a,b,c,k は正の数とする。
１. (a^k) / k > 0,
２.
(1) -a･log(a) -b･log(b) +(a+b)log(a+b) > 0,
(2) k>>0 k≠1 のとき
{ -a^k -b^k + (a+b)^k} / {k(k-1)} > 0,
省5
663: 2010/05/27(木)00:20 AAS
>>19>>26>>637
大学入試の問題なんてどこで手に入れてる？
664(2): 2010/06/01(火)02:19 AAS
>>614
1985 お茶の水女子大/数
Π [ k = 2 → n ] cos ( 1 / k ) > 2 / 3
665: 2010/06/01(火)23:32 AAS
pi
666: ◆BhMath2chk 2010/06/02(水)00:00 AAS
AA省
667: 2010/06/05(土)14:40 AAS
>>662
１．∫[0,a] x^(k-1) dx > 0,
２．∫[0,b] ∫[0,a] (x+y)^(k-2) dx･dy > 0,
３．∫[0,c] ∫[0,b] ∫[0,a] (x+y+z)^(k-3) dx･dy･dz > 0,
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
不等式
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
省3
668(1): 2010/06/08(火)00:38 AAS
自作不等式．．．っても歴史の中で何万回目かの再発見なんだけど．
a, b, c を n 次元実数ベクトルとし、<x, y> を標準内積、|x| := \sqrt(<x, x>) とするとき、次の
不等式が成立する：
|a|^2 <b, c>^2 + |b|^2 <c, a>^2 + |c|^2 <a, b>^2 ≦ |a|^2 |b|^2 |c|^2 + 2 <a, b> <b, c> <c, a>
等号成立は a, b, c が一次従属のとき．
669: 2010/06/08(火)01:04 AAS
いぇす
670: 2010/06/08(火)03:50 AAS
＞ 何万回目かの再発見なんだけど．
よく数えたな。
671: 2010/06/08(火)05:04 AAS
使い道ってあるの？
672(1): 2010/06/08(火)06:53 AAS
チョコレートを湯煎して型に流し込んだだけで自作チョコレートとか言っちゃう女子って恥ずかしいよね
673: 2010/06/08(火)12:28 AAS
別に。
どちらにせよ料理というものは、
材料に熱を加えることと、形を変える以外のことはほとんどしない。
674: 2010/06/08(火)13:17 AAS
ここからトポロジースレ始まるよー！
675: 2010/06/08(火)13:46 AAS
シュワルツ不等式の一般化か
676: 668 2010/06/09(水)01:10 AAS
もはや証明を書いていいような雰囲気じゃないなｗ
677: 2010/06/09(水)02:02 AAS
気にするな
678(1): 2010/06/10(木)06:30 AAS
2chｽﾚ:math
679(1): 668 2010/06/12(土)14:50 AAS
>>678
見抜かれてるｗｗｗ ここはレベル高いっすね^^;
680: 2010/06/12(土)23:00 AAS
>>679
君のレベルが低すぎるのだ！
精進したまえ！
681(1): 2010/06/14(月)00:31 AAS
>>668
cosα = <b,c> /(|b||c|),
cosβ = <c,a> /(|c||a|),
cosγ = <a,b> /(|a||b|),
0 ≦ α,β,γ ≦ π,
とおくと、
0 ≦ α+β+γ ≦ 2π,
省12
682: 2010/06/14(月)22:30 AAS
>>672
テンパリングの腕が確かなら嫁にしたい
683: 668 2010/06/15(火)00:15 AAS
>>681
そんなやりかたがあるんですね！ 気づきませんでした． 皆さんのヌクモリティあふれる書き込みで
目から汗を流して不貞寝してましたが、私が用意した証明を次に書いてみようとおもいます．
684(1): 668 2010/06/15(火)00:16 AAS
以下では行列を「列ベクトルを成分とする行ベクトル」として表記します．列ベクトルは()で、行ベクトルは[] で表します．
というわけで、11成分が p, 12成分が q, 21成分が r, 22成分が s の行列は [(p, r), (q, s)] と表すことにします．では証明に入ります．a, b, c を n 次元実数ベクトルとし、<x, y> を標準内積、|x| := \sqrt(<x, x>) とし、行列 A を次のように定義する：
A := [(<a,a <a,b <a,c>), (<b,a <b,b <b,c>), (<c,a <c,b <c,c>)].
このとき
det(A) =det([(Σ a_i*a_i, Σ a_i*b_i, Σ a_i*c_i),
(Σ b_j*a_j, Σ b_j*b_j, Σ b_j*c_j),
(Σ c_k*a_k, Σ c_k*b_k, Σ c_k*c_k)])
省13
685: 2010/06/15(火)09:52 AAS
>>684
Gram行列の正定値性を知っていれば証明シンプルになるね
686: 2010/06/21(月)19:27 AAS
外積代数なんかで考えると確かに正定値性から行列式が正、ってのが出る空気はわかるんだけど
実際証明どうするのか想像つかないな…
687: 2010/08/04(水)07:39 AAS
AA省
688(1): 2010/08/06(金)10:03 AAS
x>>0 y>>0 x+y=1 のとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1 を示せ。
689(3): 2010/08/06(金)17:27 AAS
t＞0 において，ある正の定数 C が存在して，次の不等式が成り立つ事を示せ．
|∫[0，∞] exp( i t x^2-x^4 ) dx | ≦ C/√t
ただし i は虚数単位
690(1): 2010/08/06(金)23:05 AAS
>>688
u,v,x,y >>0 x+y=1 のとき Jensenにより
(u^x)(v^y) ≦ u･x + v･y,
(v^x)(u^y) ≦ v･x + u･y,
辺々たす。
(u^x)(v^y) + (v^x)(u^y) ≦ (u+v)(x+y) = u+v,
外部ﾘﾝｸ:messages.yahoo.co.jp
省1
691: 2010/08/08(日)21:40 AAS
>>690
u,v,w,x,y,z >>0 x+y+z=1 のとき Jensenにより
(u^x)(v^y)(w^z) ≦ ux + vy + wz,
(u^y)(v^z)(w^x) ≦ uy + vz + wx,
(u^z)(v^x)(w^y) ≦ uz + vx + wy,
辺々たす。
(u^x)(v^y)(w^z) + (u^y)(v^z)(w^x) + (u^z)(v^x)(w^y) ≦ (u+v+w)(x+y+z) = u+v+w,
省2
692: 2010/08/08(日)23:05 AAS
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
693: 2010/08/08(日)23:27 AAS
AA省
694(1): 2010/08/14(土)16:17 AAS
>>689はこのｽﾚの住民には簡単過ぎ？
695(3): 2010/08/26(木)22:47 AAS
a+b+c+abc=4でa,b,cがすべて正の実数であるときa+b+c≧ab+bc+caであることを示せ。
696: 2010/08/29(日)01:53 AAS
AA省
697(1): 2010/08/29(日)02:08 AAS
>>689 >>694
tx^2 = θ とおくと、
x = √(θ/t),
dx = 1/{2√(tθ)} dθ,
(左辺) = 1/(2√t) |∫[0,∞) exp(iθ - (θ/t)^2) /(√θ) dθ |,
虚部は、1/(2√t) の因子を除いて
∫[0,∞) exp(-(θ/t)^2) (sinθ)/(√θ) dθ
省15
698(1): 143 2010/08/29(日)04:28 AAS
>>695
a,b,c < 1 と仮定すると、a+b+c + abc < 4,
a,b,c > 1 と仮定すると、a+b+c + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
b = (4-a-c)/(1+ac),
省3
699: 2010/08/29(日)20:12 AAS
>>695 の元サイト (hachijo氏)
外部ﾘﾝｸ[html]:okwave.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:soudan1.biglobe.ne.jp
>>698
(a+b+c) - (ab+bc+ca) = ････
700: 2010/08/29(日)20:29 AAS
>>139 の元サイト (KARL 氏)
外部ﾘﾝｸ:2chnull.info 195
２ちゃんぬる 大学入試数学問題集
基本的に >>143 と同じ解法だな････
701: 2010/08/29(日)23:19 AAS
>>139
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
出題元を発見したので、数年ぶりに記念パピコ！ ( ﾟ∀ﾟ)
「大学への数学 2010-7 宿題」
解答解説は 2010-9に掲載、その模範解答は…
（解1） b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
省3
702: 2010/08/31(火)19:56 AAS
ジャイアン…
703: 2010/09/02(木)23:00 AAS
AA省
704(1): [asge] 2010/09/04(土)19:32 AAS
[B.3989]
a,b,c は正の実数で、a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4 を満たす.
a+b+c ≦ 3 を示せ.
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
705: [asge] 2010/09/04(土)22:56 AAS
>>704
(略解)
1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号だから、 (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。
3(3-a-b-c)
= (1/2)(3-a-b-c)^2 +(1/2){9-(a+b+c)^2}
= (1/2)(3-a-b-c)^2 +(1/2)(1+a^2 +b^2 +c^2 -2ab -2bc -2ca +2abc) -(a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
= (1/2)(3-a-b-c)^2 +(1/2)(1-a)^2 + (1/2)(b-c)^2 +a(1-b-c+bc) -(a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
省3
706: 2010/09/05(日)18:53 AAS
>>697
正解です．
では以下上級問題．
>>689において C＝√π/2 ととれることを示せ．
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