[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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681(1): 2010/06/14(月)00:31 AAS
>>668
　cosα = <b,c> /(|b||c|),
　cosβ = <c,a> /(|c||a|),
　cosγ = <a,b> /(|a||b|),
　0 ≦ α,β,γ ≦ π,
とおくと、
　0 ≦ α+β+γ ≦ 2π,
　α ≦ β+γ,
　β ≦ α+γ,
　γ ≦ α+β,
問題は
　(cosα)^2 + (cosβ)^2 + (cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
に帰着する。
ところで、次の恒等式が成立つ。　　>>580
　1 - (cosα)^2 - (cosβ)^2 - (cosγ)^2 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ)
　= 4sin((α+β+γ)/2)sin((-α+β+γ)/2)sin((α-β+γ)/2))sin((α+β-γ)/2) ≧ 0,

等号成立は
　α+β+γ = 2π, -α+β+γ =0, α-β+γ =0, α+β-γ =0, のいずれか。
∴　a,b,c が共面（一次従属）のとき。

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