不等式への招待第４章

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523(3): 2009/10/08(木)03:20 AAS
鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ

2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)

sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
より

524: 2009/10/08(木)09:25 AAS
>>519

>>521 で答えでてるけど、別解。

丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）

x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
省14

525(1): 524 2009/10/08(木)09:26 AAS
このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。

ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。

よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
省3

526: 2009/10/08(木)23:00 AAS
>>519

〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき

　(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),

　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),

・参考
　>>136 , [初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式

527: 2009/10/09(金)04:01 AAS
>>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!

528(1): 2009/10/09(金)11:46 AAS
>>502 (4)
　β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。

便宜上 (2) を先に解く。
　0<x，α=ex，β=e/x のとき
　(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
　(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
省7

529(1): 2009/10/09(金)15:37 AAS
>>389 , >>502 (6)
　f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
　f(x) ≦ f(e) = 1/e,
　f(π) < 1/e,
∴　π^(1/π) < e^(1/e),
∴　α = e^π > π^e = β,
省11

530: 2009/10/09(金)15:47 AAS
ふぅ・・・

531(2): 2009/10/09(金)18:00 AAS
>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ 1, -p, -r ]
　[-p,　1, -q ]
　[-r, -q,　1 ]
省21

532(1): 2009/10/10(土)17:35 AAS
>>511 (上), >>531 (上)

　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>>531
　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
省8

533: 2009/10/11(日)10:54 AAS
AA省

534: 2009/10/11(日)10:57 AAS
>>523

〔補題〕
　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),

(略証)
　A-B < (π-A) - B = C,
　B-A < (π-B) - A = C,
∴　|A-B| < C,　　　　　(終)

535(1): 2009/10/12(月)01:34 AAS
(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2

の最大値を求めよ。

(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき

　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
省3

536(1): 2009/10/12(月)02:59 AAS
>>438
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
らしい

537(2): 2009/10/12(月)05:41 AAS
>>523 の〔類題〕

・1≦K≦√3 のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),

・0≦K≦1のとき
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,

(略証)
　0≦K≦√3 と C≦π/3 より
省6

538(1): 2009/10/13(火)21:14 AAS
AA省

539(5): 2009/10/16(金)03:13 AAS
△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式

x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L

が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると

9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R

が成立する
省4

540: 2009/10/16(金)03:15 AAS
フェラチオ＞シックスナイン

541: 2009/10/16(金)16:16 AAS
フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。

542: 2009/10/16(金)16:17 AAS
ｗ

543: [age] 2009/10/17(土)02:14 AAS
age

544: 2009/10/17(土)04:22 AAS
>>539

(上)　>>394-395　

(下)　実変数のときは、　(与式) ≦ 0.397747488･･･,
　　等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？

545: 2009/10/17(土)10:03 AAS
△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、

√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))

を示せ。

546: 2009/10/17(土)15:16 AAS
AA省

547: 546 2009/10/18(日)06:00 AAS
>>539 (下)　(546の続き)

・複素変数のとき
　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
　　= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
　　≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　(← 相加･相乗平均)
∴　(与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
　等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
省11

548(1): 547 2009/10/18(日)06:50 AAS
>>539 (下)　(547の続き)

・非負変数のとき
　min{α,β,γ} = m ≧0,　{α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
　|⊿| = xy(x+y),
　α+β+γ = 3m +2x +y,
　|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
　(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
省4

549: 2009/10/18(日)22:20 AAS
>>538 (2)　訂正
　(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2

>>548
　⊿ = (α-β)(β-γ)(γ-α),　　とおきますた(差積)。

　等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1　及びその入れ換え。

550(1): 2009/10/19(月)03:59 AAS
蒼井そら

551: 2009/10/20(火)02:10 AAS
外部ﾘﾝｸ:www.551horai.co.jp
551蓬莱

552: 2009/10/20(火)02:11 AAS
>>550

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org河合曾良
外部ﾘﾝｸ:dic.nicovideo.jp河合曾良
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgギャグマンガ日和

553(1): 2009/10/21(水)01:00 AAS
|cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2

554: 2009/10/23(金)21:53 AAS
>>553
　-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
　-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,　
φで積分して
　-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,

あるいは平均値の定理から
省2

555: 2009/10/24(土)02:24 AAS
>>502 の解答

(1) >>504-510　(2) 未　(3) >>518　(4) >>528　(5) >>516-517　(6) >>529　(7) >>515　(8) >>503

556(2): 2009/10/24(土)02:53 AAS
問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする

問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
省19

557: 2009/10/26(月)00:15 AAS
>>556
とりあえす問１だけ････

　a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････とおくと、(与式) = a^(4/3a),

　e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e),　　　(← a>e)
　e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),

　8/3 < e < a < 17/6　より
　1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
省2

558: 2009/10/26(月)02:59 AAS
さすがに√eの値を出すのは反則でない？

559: 2009/10/26(月)10:35 AAS
>>556
問1
(√2)^(√2)=a　とおく。
f(x)=x^(√2-1)　とすると、f(x)はx>>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a　から
a^2 < 2√2 = 2.828...
省1

560: 559 2009/10/26(月)10:41 AAS
間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2)　とおいて
g(a) < g(√2)　から示す。

561: 2009/10/26(月)20:59 AAS
>>438　　(出題元 >>536 から)

　(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,

∴　(x+y)(x+z)(z+x)F_1
　　= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,

562: 2009/10/26(月)22:42 AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:image.blog.livedoor.jp
画像ﾘﾝｸ[jpg]:img05.ti-da.net
画像ﾘﾝｸ[jpg]:www.asaho.com

563: 2009/11/03(火)21:59 AAS
>>539 (中)

左側:
△ABCの内心をIとおく。
　x ≧ AI + r = r/sin(A/2) + r,
　y ≧ BI + r = r/sin(B/2) + r,
　z ≧ CI + r = r/sin(C/2) + r,
辺々たすと
省10

564(1): 2009/11/03(火)22:08 AAS
AA省

565: 2009/11/03(火)23:20 AAS
>>564
それは不等号だろ！？

566(1): 2009/11/05(木)00:40 AAS
おらよっと！
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.ust.hk

567: 2009/11/06(金)00:19 AAS
AA省

568: 2009/11/06(金)06:05 AAS
私と同類ですな (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

569: 2009/11/06(金)11:35 AAS
有名問題

自然数Nをいくつかの自然数の和に分割するとき
この分割した自然数の積が最大となるためにはどのように分割すればよいか

570(1): 2009/11/07(土)18:29 AAS
Problem 328.(Tuan Le, Fairmont high school, Anaheim, Ca., USA)

Let a,b,c>>0. Prove that
　√(a^3 + b^3)/(a^2 + b^2) + √(b^3 +c^3)/(b^2 + c^2) + √(c^3 + a^3)/(c^2 + a^2)
　≧ 1/√(a+b) + 1/√(b+c) + 1/√(c+a)
　≧ 3/{(a+b)(b+c)(c+a)}^(1/6)
　≧ 2(3st)^(1/3) / √{(a+b)(b+c)(c+a)}
　≧ 2√(3t) / √{(a+b)(b+c)(c+a)}
省3

571: 2009/11/07(土)18:40 AAS
>>570

(略証)
一番上: コーシーにより
　(a^3 + b^3)(a+b) - (a^2 + b^2)^2 = ab(a-b)^2 ≧ 0, など.
2番目: 相加･相乗平均
3番目:
　9(a+b)(b+c)(c+a) -8st = 9(st-u) -8st = st -9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0
省6

572(1): 2009/11/17(火)00:33 AAS
△ABCは鋭角三角形
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB

573: 2009/11/18(水)22:40 AAS
>>572
　>>537 （K=1の場合）

574(1): 2009/11/19(木)13:14 AAS
△ABCは鋭角三角形
sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC+Max(cosA,cosB,cosC)

575: 2009/11/20(金)00:27 AAS
>>574
　>>537 （K=1の場合）
　sin(A) + sin(B) + sin(C) > cos(A) + cos(B) + cos(C) + 1,

576(1): 2009/11/22(日)21:17 AAS
p,q,rは正の実数で、pq+qr+rp=1を満たす。
x,y,zは正の実数であるとき
(q+r)x^2+(r+p)y^2+(p+q)z^2+pyz+qzx+rxy≧(xy+yz+zx)√3
を示せ。

577: 2009/11/26(木)18:18 AAS
f(x)は凸関数とする。
∫（1-f(x))^2dx≧｛∫（1－f(x)dx｝^2
をJensenを用いて示せ。

578(1): 2009/11/28(土)00:34 AAS
てｓｔ

579: 2009/11/28(土)04:06 AAS
test

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ>>578
　くく　へﾍﾉ

580(2): 2009/11/30(月)23:46 AAS
>>576

一点Fから 120ﾟをなす3方向にx,y,zだけ離れた点を A,B,Cとする。（Fは△ABCのフェルマー点）
　a = √(y^2 +yz+z^2), b = √(z^2 +zx+x^2), c = √(x^2 +xy+y^2),

　(左辺) = p(y^2 +yz+z^2) + q(z^2 +zx+x^2) + r(x^2 +xy+y^2) = pa^2 + qb^2 + rc^2 = P + Q + R,

　(右辺) = (√3)(xy+yz+zx) = 4･△ABC = 2ab･sin(C) = 2bc･sin(A) = 2ca･sin(B),

　(左辺)^2 - (pq+qr+rp)(右辺)^2 = (P+Q+R)^2 - pq{2ab･sin(C)}^2 - qr{2bc･sin(A)}^2 - rp{2ca･sin(B)}^2
　　　　= P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQcos(2C) + 2QRcos(2A) + 2RPcos(2B),
省7

581: 2009/12/03(木)20:27 AAS
>>580 の途中から

　P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQcos(2C) + 2QRcos(2A) + 2RPcos(2B)
　=　{Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2 + 2PQ{cos(2C) - cos(2A+2B)}
=　{Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2 + 4PQ･sin(A+B+C)sin(A+B-C)
　≧ {Psin(2B) - Qsin(2A)}^2 + {Pcos(2B) + Qcos(2A) + R}^2　　　　　　(← A+B+C=π)
　≧ 0,

ぬるぽ

582: 2009/12/08(火)04:11 AAS
鳩山首相「マスコミなどに、批判されてる」と弱音→ゴルバチョフ元ソ連大統領「批判に耐えるのが指導者」

※関連スレ

鳩山首相「私の心、全然折れてない」「党首討論、今まで一度も拒否してない」
「麻生首相＝新ＫＹ」…空気読めない、漢字読めない、経済よく知らない
民主・菅氏「麻生首相、弱虫太郎に名前変えろ」「政権は行き詰まり、野垂れ死にする」
「“やるやる”詐欺だ。一般財源化もやっていない。税金泥棒だ」　前原副代表が、麻生太郎首相を詐欺師呼ばわり
亀井静香氏「麻生首相を、参院出禁にしろ」「民主党は腰抜けだ」批判
省11

583(1): 2009/12/20(日)22:43 AAS
久々に投下

57 < tan 89 ﾟ < 58 を示せ

584(1): 2009/12/21(月)01:10 AAS
>>583
十分小さな x に対して x ≦ 1/tan(π/2 - x) ≦ x + x^3 だから
x = π/180 突っ込んで逆数取れば 57 ≦ tan(89) ≦ 57.4 くらいが
3.14 ≦ π ≦ 3.15 くらいの雑な評価で出るね

585: 2009/12/24(木)22:49 AAS
>>584
　tan(x) < x + x^3,
(略証)
　2/3 < cos(x) ≦ 1 のとき
　cos(x){1 + sin(x)^2} - 1 = cos(x){2 - cos(x)^2} - 1 = {1-cos(x)}{cos(x)^2 +cos(x) -1} > 0,
∴　tan(x) < sin(x) + sin(x)^3 < x + x^3,

586(1): 2009/12/25(金)05:18 AAS
円周上に 3 点 A , B , C と
孤 AB , BC , CA の中点 D , E , F がある

AB + BC + CA ≦ DE + EF + FD

587: 2009/12/25(金)14:12 AAS
>>586
外接円の中心を点O、半径をRとすれば、
OD⊥BC,OE⊥CA.OF⊥ABより(AB+BC+CA)×R＝2×六角形AFBDCE
これに対しOA,OB,OCはそれぞれEF,FD,DEと垂直とは限らないので
(DE+EF+FD)×R≧2×六角形AFBDCE

以上からAB+BC+CA≦DE+EF+FD

588(1): 2009/12/25(金)21:22 AAS
a,b,c>>0に対して,
2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b
が成り立つことを示せ.

589: 2009/12/26(土)02:38 AAS
>>588
相加相乗から
ab/c^2+ab/c^2+bc/a^2≧3b/c
ab/c^2+bc/a^2+bc/a^2≧3b/a
よりab/c^2+bc/a^2≧b/a+b/c
同様にbc/a^2+ca/b^2≧c/b+c/a,ab/c^2+ca/b^2≧a/c+a/b
辺々足して2(ab/c^2+bc/a^2+ca/b^2)≧(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b

591(1): 2009/12/27(日)05:28 AAS
四角形 ABCD の面積を S とする

4S ≦ ( AB + CD ) ( BC + DA )

592: 2009/12/27(日)21:35 AAS
>>590
　∠AOB = 2α,　∠BOC = 2β,　∠COD = 2γ,　∠DOA = 2δ, (>>0)
とおく。ただし
　α+β+γ+δ = π,　　　･･････ (*)
を満たすとする。

　AB = 2R･sinα,　BC = 2R･sinβ,　CD = 2R･sinγ,　DA = 2R･sinδ,
　AC = 2R･sin(α+β),　BD = 2R･sin(β+γ),
省18

593: 2009/12/27(日)21:50 AAS
>>591
　2S = 2△ABC + 2△CDA ≦ AB･BC + CD･DA,
　2S = 2△BCD + 2△DAB ≦ BC･CD + DA･AB,
辺々たす。

594: 2009/12/27(日)23:47 AAS
質問されてるぞ

276　　　だるまにおん　[2009/12/20(日) 12:01:28 ID:darumaotoshi]
出題
実数a,bが
3^a+13^b=17^a
5^a+7^b=11^b
をみたすとき、a＜b が成り立つことを証明せよ。
省17

595: 2009/12/28(月)02:23 AAS
>>590
AB≦CDとしてもよく、ACとBDの交点を点Eとして
線分CE上に点FをEB=EFとなるように取り、線分CD上に点GをGF//DEとなるように取る。
三角形CFGで三角不等式を適用

596(1): 2010/01/01(金)02:58 AAS
数列 a [ k ] は

a [ k ] = ( 1 / 7 ) * ( 7 / 6 ) ^ k ( 1 ≦ k ≦ 6 )

a [ k + 6 ]
= ( 1 / 6 ) * ( a [ k + 5 ] + a [ k + 4 ] + ･･･ + a [ k ] ) ( 1 ≦ k )

を満たすとき

0.285 < a [ 2010 ] < 0.286

597: 2010/01/01(金)22:34 AAS
>>596
　b[k] = (1/21){6*a[k+5] + 5*a[k+4] + 4*a[k+3] + 3*a[k+2] + 2*a[k+1] + a[k]},　　(k≧1)
とおくと、
　b[k+1] - b[k] = (1/21){6*a[k+6] -a[k+5] -a[k+4] -a[k+3] -a[k+2] -a[k+1] -a[k]} = 0,

∴　b[k+1] = b[k] = ･････ = b[1]
　　　= (1/21){6*a[6] + 5*a[5] + 4*a[4] + 3*a[3] + 2*a[2] + a[1]}, (一定)

∴　a[n] → b[1]　(n→∞)
省1

598: 2010/01/02(土)04:05 AAS
凸四角形 ABCD の外側に正三角形 ADE , BCF を作れば

EF ≦ AC + BD

599: 2010/01/08(金)17:43 AAS
>>2 [10]　
>The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年

買ってみた。ＨＬＰはイマイチ自分に合わなかったけど、この本のテンポや話の進め方は好みだなぁ。

600: 2010/01/09(土)14:15 AAS
Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach
2009/10/23 発売
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp

みんなもうこれ買った？

601(1): 2010/01/09(土)15:20 AAS
そんなん買わなくても、ネットでタダで色々見れるじゃん

602: 猫は淫獣 ◆ghclfYsc82 [age] 2010/01/10(日)22:02 AAS
以下の様な書き込みがありました。皆さんのご意見を賜りたいと
存じます。

敬具

猫拝

>頭が悪いのがコンヌみたいな数学史に残るであろう大天才に推薦状を書く雑用をさせていいと思ったのかい？
>お前が飢えてどこで野垂れ死のうと数学の歴史には全く影響がないが
>コンヌの時間を奪えば数学の歴史に影響しかねんとは考えられなかったのかい？
省15

603(1): 2010/01/11(月)03:33 AAS
>>601
例えば？

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